O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega^{2}x(t)=0
com as condições iniciais em t=0:
x(0)=A, \quad \left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0}=0.
O conteúdo aqui é resolução de EDO linear homogênea com coeficientes constantes: vamos montar a equação característica, achar a solução geral e então aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo x(t)=e^{rt}. Substituindo na EDO, obtemos a equação característica