Resolva a equação:
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega^{2} x(t)=0
Sujeita as condições iniciais:
\begin{gathered} x(0)=A \\\ \frac{d x}{d t}=0 \end{gathered}
em t=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega^{2}x(t)=0
com as condições iniciais em t=0:
x(0)=A, \quad \left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0}=0.
O conteúdo aqui é resolução de EDO linear homogênea com coeficientes constantes: vamos montar a equação característica, achar a solução geral e então aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo x(t)=e^{rt}. Substituindo na EDO, obtemos a equação característica
r^{2}+\omega^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad r=\pm i\omega.
Isso indica que a solução geral real é combinação de cosseno e seno:
x(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t).

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
x(0)=C_{1}\cos(0)+C_{2}\sin(0)=C_{1}=A \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=A.
Em seguida, derivando,
\frac{dx}{dt}=-C_{1}\,\omega\sin(\omega t)+C_{2}\,\omega\cos(\omega t),
logo em t=0:
\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0} =-A\omega\sin(0)+C_{2}\,\omega\cos(0) =C_{2}\,\omega=0 \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=0.

Passo 4

Com C_{1}=A e C_{2}=0, a solução que satisfaz as condições iniciais é
x(t)=A\cos(\omega t).

Resposta

x(t)=A\cos(\omega t).

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