No estudo do movimento de um corpo suspenso por uma mola sob a ação de uma força externa obtemos a equação
y^prime prime+c y^prime+y=sen t
a) Determine a função y=y(t), que fornece a posição do corpo para t >= 0, em regime estacionário.
b) Indique um intervalo de valores para c (constante de atrito viscoso) de modo que a amplitude de y(t) não exceda 4 unidades de comprimento.

Passo 1

O enunciado dá a equação do movimento amortecido forçado
y''+c,y'+y=sin t
O que queremos é a solução em regime estacionário (a parte particular que permanece quando o transiente morre) de uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Na fase estacionária, assumimos uma solução do tipo
yp(t)=Asin t+Bcos t
Para isso, calculamos as derivadas:
yp'(t)=Acos t - Bsin t, yp''(t)=-Asin t - Bcos t

Passo 3

Substituímos na equação original:
(-Asin t - Bcos t)+c(Acos t - Bsin t)+(Asin t + Bcos t)=sin t
Reagrupando sen t e cos t:
(-A + A - cB)sin t +(-B + B + cA)cos t=-cBsin t +cAcos t
Igualando coeficientes a sin t e cos t:
-cB=1,, cA=0
Logo
A=0,, B=-1c

Passo 4

Assim a solução em regime estacionário é
y(t)=yp(t)=-1ccos t
A amplitude é
|B|=1c
Para que essa amplitude não ultrapasse 4, impomos
1c<=4Longrightarrow c>=14

Resposta

a) y(t)=-tfrac1ccos t. b) c>=tfrac14.

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