Resolva a equação diferencial (1-x^2) y^prime prime-x y^prime+y=0,|x|<1.
Sugestão: Faça a mudança de variável x=cos t.

Passo 1

Nós temos a EDO de segunda ordem (1 - x^2)y'' - x y' + y = 0 no intervalo |x|<1. O conteúdo aqui é usar uma mudança de variável para transformar essa EDO em algo mais simples (no caso, em uma EDO trigonométrica).

Passo 2

Fazendo a mudança de variável x = cos t, temos t = arccos x. Definindo y(x)=Y(t), calculamos as derivadas em relação a x:
y' = dYdx = dYdtcdotdtdx = -Y'sin t,
y'' = ddxl(-Y'sin tr) = Y'',sin t - Y',cos tsin^3 t, onde Y'=dY/dt e Y''=d^2Y/dt^2.

Passo 3

Substituindo em (1-x^2)y'' - x y' + y = 0 e usando 1-x^2=sin^2 t, obtemos:
(1-x^2)y'' = sin^2 tcdotY''sin t - Y'cos tsin^3 t = Y'' - Y'cot t,
- x y' = -cos tl(-Y'sin tr) = Y'cot t,
y = Y
Somando tudo, os termos em Y'cot t se cancelam, sobrando
Y'' + Y = 0

Passo 4

A equação Y'' + Y = 0 é uma EDO harmônica de segunda ordem cuja solução geral é
Y(t) = Acos t + Bsin t, com constantes A,B.

Passo 5

Voltando à variável original, y(x)=Y(arccos x). Como cos(arccos x)=x e sin(arccos x)=raiz1-x^2, concluímos
y(x) = A,x + B,raiz1-x^2

Resposta

A solução geral é y(x)=C1,x + C2,raiz1-x^2, com C1,C2 constantes.

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