Determine os valores de x para os quais \frac{5 x-2}{2 x+7} \leq 7.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{5x-2}{2x+7}\le7.
O conteúdo aqui é análise de sinal de uma expressão fracionária: vamos colocar tudo num único quociente, identificar zeros do numerador e pontos de descontinuidade (denominador zero) e montar o quadro de sinais.

Passo 2

Subtraímos 7 dos dois lados para ter zero à direita:
\frac{5x-2}{2x+7}-7\le0.
Em seguida, escrevemos num único quociente com denominador 2x+7:
\frac{5x-2-7(2x+7)}{2x+7}\le0.

Passo 3

Calculamos o numerador:
5x-2-14x-49=-9x-51=-9\bigl(x+\tfrac{17}{3}\bigr).
Logo a inequação vira
\frac{-9\bigl(x+\tfrac{17}{3}\bigr)}{2x+7}\le0.
Como -9<0, dividindo por esse fator inverte-se o sinal da desigualdade:
\frac{x+\tfrac{17}{3}}{2x+7}\ge0.

Passo 4

O numerador anula em x=-\tfrac{17}{3} e o denominador em x=-\tfrac{7}{2}, ponto em que a expressão não está definida. Esses são os pontos críticos que particionam a reta em três intervalos:
(-\infty,-\tfrac{17}{3}),\quad (-\tfrac{17}{3},-\tfrac{7}{2}),\quad (-\tfrac{7}{2},\infty).

Passo 5

Analisando o sinal de \frac{x+\tfrac{17}{3}}{2x+7} em cada parte:
  • Em x<-\tfrac{17}{3}: numerador <0, denominador <0 ⇒ quociente >0.
  • Em -\tfrac{17}{3}<x<-\tfrac{7}{2}: numerador >0, denominador <0 ⇒ quociente <0.
  • Em x>-\tfrac{7}{2}: numerador >0, denominador >0 ⇒ quociente >0.
    No zero do numerador x=-\tfrac{17}{3} a expressão vale zero e satisfaz “ \ge0”. Em x=-\tfrac{7}{2} há divisão por zero, então excluímos esse ponto.

Resposta

A solução da inequação é
x\in\bigl(-\infty,-\tfrac{17}{3}\bigr]\;\cup\;\bigl(-\tfrac{7}{2},\infty\bigr).

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