Use série de potências para encontrar as soluções de
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre as soluções da equação diferencial
usando série de potências. Informações dadas e o que é pedido:
- A equação diferencial é de segunda ordem e não tem condições iniciais fornecidas, portanto queremos a solução geral com duas constantes arbitrárias.
- O lado direito é o polinômio
. - Devemos usar a técnica de série de potências (ou seja, procurar
como uma soma de potências de ) para obter a solução.
Passo 2
Vamos admitir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Explicando as notações:
- Cada
é um coeficiente desconhecido (constante) que vamos determinar. - Essa série representa uma função analítica próxima de
; aqui usamos-a formalmente para obter coeficientes.
As derivadas, obtidas termo a termo, são:
Expliquei: em
cada termo
produz
, e em
cada termo dá
.
Passo 3
Substituímos a expressão de
na equação diferencial:
Para comparar coeficientes de potências iguais de
é conveniente reindexar a soma usando
. Assim
e obtemos
Agora temos uma soma em potências
à esquerda igual a um único termo
à direita.
Passo 4
Pelo princípio de igualdade de séries de potências, os coeficientes de
Isto gera uma recorrência/fórmula direta para os coeficientes
temos
e para
(que corresponde ao coeficiente de
) temos
ou seja
Passo 5
Calculamos
a partir de
:
Pelo resultado anterior, todos os coeficientes
com
são zero, exceto possivelmente
que acabamos de calcular. Assim os termos não nulos da série são apenas
(livres) e
.
Logo a série solução é
Aqui
e
são constantes arbitrárias que surgem porque a equação é de segunda ordem (equivalente às constantes de integração).
Passo 6
É sempre bom verificar: derivando duas vezes a solução encontrada, deve voltar
. Primeiro:
A verificação bate certinho com a equação original, então a solução está correta.
Passo 7
Para ficar com notação habitual de constantes de integração, renomeamos
e
. Assim escrevemos a solução geral da forma mais usada em provas e exercícios:
onde
e
são constantes reais quaisquer.