Use série de potências para encontrar as soluções de
y^{\prime \prime}(x)=-3 x^{4}

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre as soluções da equação diferencial
y^{\prime\prime}(x) = -3 x^{4}
usando série de potências. Informações dadas e o que é pedido:
  • A equação diferencial é de segunda ordem e não tem condições iniciais fornecidas, portanto queremos a solução geral com duas constantes arbitrárias.
  • O lado direito é o polinômio -3 x^{4}.
  • Devemos usar a técnica de série de potências (ou seja, procurar y como uma soma de potências de x) para obter a solução.

Passo 2

Vamos admitir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}.
Explicando as notações:
  • Cada a_{n} é um coeficiente desconhecido (constante) que vamos determinar.
  • Essa série representa uma função analítica próxima de 0; aqui usamos-a formalmente para obter coeficientes.
As derivadas, obtidas termo a termo, são:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n\,a_{n} x^{n-1},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)\,a_{n} x^{n-2}.
Expliquei: em y' cada termo a_n x^n produz n a_n x^{n-1}, e em y'' cada termo dá n(n-1) a_n x^{n-2}.

Passo 3

Substituímos a expressão de y''(x) na equação diferencial:
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)\,a_{n} x^{n-2} = -3 x^{4}.
Para comparar coeficientes de potências iguais de x é conveniente reindexar a soma usando k=n-2. Assim n=k+2 e obtemos
\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1)\,a_{k+2} x^{k} = -3 x^{4}.
Agora temos uma soma em potências x^{k} à esquerda igual a um único termo -3 x^{4} à direita.

Passo 4

Pelo princípio de igualdade de séries de potências, os coeficientes de x^{k}\) em ambos os lados devem ser iguais para cada \(k\ge0\). Ou seja: \[(k+2)(k+1)\,a_{k+2} = \begin{cases} -3, & \text{se } k=4,\\[4pt] 0, & \text{se } k\neq 4. \end{cases}
Isto gera uma recorrência/fórmula direta para os coeficientes a_{k+2}\]. Para \(k\neq 4 temos
a_{k+2}=0,
e para k=4 (que corresponde ao coeficiente de x^{4}) temos
(4+2)(4+1)\,a_{6} = -3,
ou seja
6\cdot 5\,a_{6} = -3.]

Passo 5

Calculamos a_{6} a partir de 6\cdot5\,a_{6}=-3:
a_{6} = \frac{-3}{6\cdot5} = \frac{-3}{30} = -\frac{1}{10}.
Pelo resultado anterior, todos os coeficientes a_{n} com n\ge2 são zero, exceto possivelmente a_{6} que acabamos de calcular. Assim os termos não nulos da série são apenas a_{0}, a_{1} (livres) e a_{6}=-\tfrac{1}{10}.
Logo a série solução é
y(x)=a_{0} + a_{1} x + a_{6} x^{6} = a_{0} + a_{1} x -\frac{1}{10} x^{6}.
Aqui a_{0} e a_{1} são constantes arbitrárias que surgem porque a equação é de segunda ordem (equivalente às constantes de integração).

Passo 6

É sempre bom verificar: derivando duas vezes a solução encontrada, deve voltar -3x^{4}. Primeiro:
y'(x)=a_{1} -\frac{1}{10}\cdot 6 x^{5} = a_{1} -\frac{6}{10} x^{5} = a_{1} -\frac{3}{5} x^{5},
y''(x)= -\frac{3}{5}\cdot 5 x^{4} = -3 x^{4}.
A verificação bate certinho com a equação original, então a solução está correta.

Passo 7

Para ficar com notação habitual de constantes de integração, renomeamos a_{1}=C_{1} e a_{0}=C_{2}. Assim escrevemos a solução geral da forma mais usada em provas e exercícios:
y(x) = -\frac{1}{10}x^{6} + C_{1}x + C_{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais quaisquer.

Resposta

y(x) = -\frac{1}{10}x^{6} + C_{1}x + C_{2}

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