Encontre soluções particulares explícitas dos problemas de valor inicial nos Problemas 19-26.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que se pede: encontrar uma solução particular explícita que satisfaça essa condição inicial.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função incógnita é
. - A derivada
é expressa em termos de e . - Foi dada a condição inicial em
: .
Passo 2
Identificar uma forma conveniente para resolver. Observando o lado direito podemos fatorar
:
Isso nos dá a equação
A partir daí vemos que a equação é separável: podemos agrupar os termos com
de um lado e os termos com
do outro. A ideia do método separável é “colocar
e funções de
num lado e
e funções de
no outro” e depois integrar ambos os lados.
Passo 3
Separe as variáveis movendo
para o lado esquerdo:
Agora integramos os dois lados. Vou mostrar as integrais explicitamente:
Lado esquerdo:
porque a primitiva de
é
.
Lado direito:
pois
e
.
Juntando as duas integrais e absorvendo constantes em uma só constante
(isto é,
), obtemos:
Passo 4
Determine a constante
usando a condição inicial
. Substituindo
e
na expressão geral:
Calcule cada termo:
Logo
Passo 5
Substituindo
na solução implícita, temos
Agora isolamos
. Multiplicando por
e invertendo:
Passo 6
Verificações rápidas e observações úteis para a prova:
- Verifique a condição inicial: para
o denominador é , então — confere. - Atenção ao domínio da solução: a fórmula encontrada é válida enquanto o denominador
for diferente de zero; pontos onde esse termo se anula levariam a singularidade (explosão) da solução. - Observação sobre
: ao separar dividimos por , então perdemos a solução constante que também satisfaz a equação diferencial original; porém não satisfaz a condição inicial , então não é a solução particular que queremos.