Encontre soluções particulares explícitas dos problemas de valor inicial nos Problemas 19-26.
\frac{d y}{d x}=2 x y^{2}+3 x^{2} y^{2} ; y(1)=-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\frac{dy}{dx} = 2 x y^{2} + 3 x^{2} y^{2},\qquad y(1) = -1.
O que se pede: encontrar uma solução particular explícita que satisfaça essa condição inicial.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função incógnita é y=y(x).
  • A derivada dy/dx é expressa em termos de x e y.
  • Foi dada a condição inicial em x=1: y(1)=-1.

Passo 2

Identificar uma forma conveniente para resolver. Observando o lado direito podemos fatorar y^{2}:
2 x y^{2} + 3 x^{2} y^{2} = y^{2}\bigl(2x + 3x^{2}\bigr) = y^{2}\,x\bigl(2+3x\bigr).
Isso nos dá a equação
\frac{dy}{dx} = y^{2}\,x\bigl(2+3x\bigr).
A partir daí vemos que a equação é separável: podemos agrupar os termos com y de um lado e os termos com x do outro. A ideia do método separável é “colocar dy e funções de y num lado e dx e funções de x no outro” e depois integrar ambos os lados.

Passo 3

Separe as variáveis movendo y^{2} para o lado esquerdo:
\frac{dy}{y^{2}} = x\bigl(2+3x\bigr)\,dx.
Agora integramos os dois lados. Vou mostrar as integrais explicitamente:
Lado esquerdo:
\int \frac{dy}{y^{2}} = \int y^{-2}\,dy = -\,\frac{1}{y} + C_{1},
porque a primitiva de y^{-2} é -y^{-1}.
Lado direito:
\int x\bigl(2+3x\bigr)\,dx = \int \bigl(2x + 3x^{2}\bigr)\,dx = \int 2x\,dx + \int 3x^{2}\,dx = x^{2} + x^{3} + C_{2},
pois \int 2x\,dx = x^{2} e \int 3x^{2}\,dx = x^{3}.
Juntando as duas integrais e absorvendo constantes em uma só constante C (isto é, C=C_{2}-C_{1}), obtemos:
-\,\frac{1}{y} = x^{2} + x^{3} + C.

Passo 4

Determine a constante C usando a condição inicial y(1)=-1. Substituindo x=1 e y=-1 na expressão geral:
-\,\frac{1}{-1} = 1^{2} + 1^{3} + C.
Calcule cada termo:
-\,\frac{1}{-1} = 1,\qquad 1^{2}+1^{3} = 1+1 = 2.
Logo
1 = 2 + C \quad\Rightarrow\quad C = -1.

Passo 5

Substituindo C=-1 na solução implícita, temos
-\,\frac{1}{y} = x^{2} + x^{3} - 1.
Agora isolamos y. Multiplicando por -1 e invertendo:
\frac{1}{y} = -\bigl(x^{2} + x^{3} - 1\bigr) \quad\Rightarrow\quad y = \frac{1}{-\bigl(x^{2} + x^{3} - 1\bigr)} = -\frac{1}{x^{2} + x^{3} - 1}.

Passo 6

Verificações rápidas e observações úteis para a prova:
  • Verifique a condição inicial: para x=1 o denominador é 1^{2}+1^{3}-1 = 1, então y(1) = -1 — confere.
  • Atenção ao domínio da solução: a fórmula encontrada é válida enquanto o denominador x^{2}+x^{3}-1 for diferente de zero; pontos onde esse termo se anula levariam a singularidade (explosão) da solução.
  • Observação sobre y=0: ao separar dividimos por y^{2}, então perdemos a solução constante y\equiv 0 que também satisfaz a equação diferencial original; porém y\equiv 0 não satisfaz a condição inicial y(1)=-1, então não é a solução particular que queremos.

Resposta

y(x) = -\frac{1}{x^{2}+x^{3}-1}

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