A pressão barométrica
(em polegadas de mercúrio) a uma altitude de
milhas acima do nível do mar satisfaz o problema de valor inicial
. (a) Calcule a pressão barométrica a 10.000 pés e também a 30.000 pés. (b) Sem condicionamento prévio. poucas pessoas podem sobreviver quando a pressão cai a menos de 15 polegadas de mercúrio. Que altitude é esta?
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial e pede duas coisas. Dados e pedidos (listados claramente):
- Dado: a pressão barométrica
(em polegadas de mercúrio) satisfaz
com a condição inicial
- Observação importante: a variável
é a altitude em milhas acima do nível do mar. - Pedidos:
(a) Calcular a pressão barométrica apés e a pés.
(b) Encontrar a altitude à qual a pressão cai parapolegadas de mercúrio (isto é, resolver para ). - Informação extra necessária que vou usar sem pedir:
milha pés, então para converter pés em milhas usamos .
Passo 2
Entender a equação diferencial e como resolvê‑la (passo a passo, separação de variáveis).
Temos uma equação de primeira ordem e separável:
Separar as variáveis significa colocar todos os termos em
de um lado e os termos em
do outro:
Agora integramos ambos os lados. Lembre que a integral de
é
, e a integral de uma constante em
é essa constante vezes
, mais uma constante de integração:
onde
é uma constante real.
Passo 3
Isolar
(exponenciação) e aplicar a condição inicial para determinar a constante.
Exponenciando ambos os lados (isto remove o logaritmo natural):
Como
é pressão, é positiva, então podemos escrever sem módulo:
onde
é uma constante positiva. Usamos a condição inicial
para achar
:
Logo a solução explícita é
com
em milhas.
Passo 4
Converter as altitudes pedidas de pés para milhas (detalhe do cálculo e redução de frações).
- Para
pés:
- Para
pés:
Passo 5
Calcular a pressão a
pés substituindo
na fórmula.
A fórmula é
. Substituindo:
Calcule o expoente primeiro:
Logo
Agora avaliamos numericamente. Usando
(aproximação obtida por cálculo numérico),
Portanto a pressão a
pés é aproximadamente
polegadas de mercúrio.
Passo 6
Calcular a pressão a
pés substituindo
na fórmula.
Substituindo:
Calcule o expoente:
Logo
Aproximando
,
Portanto a pressão a
pés é aproximadamente
polegadas de mercúrio.
Passo 7
Resolver a parte (b): achar a altitude
tal que
.
Começamos da solução explícita:
Isolando o exponencial:
Tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
Logo
Agora avaliamos numericamente. Primeiro calcule a razão:
e
Assim
Converter para pés (multiplicar por
):
Portanto a altitude à qual a pressão cai para
polegadas de mercúrio é aproximadamente
milhas, ou cerca de
pés.
Resposta
(a)
pés:
polegadas de mercúrio.
(a) pés:
polegadas de mercúrio.
(b) Altitude onde :
milhas
pés.
(a)
(b) Altitude onde