A pressão barométrica p (em polegadas de mercúrio) a uma altitude de x milhas acima do nível do mar satisfaz o problema de valor inicial d p / d x=-(0,2) p, p(0)=29,92. (a) Calcule a pressão barométrica a 10.000 pés e também a 30.000 pés. (b) Sem condicionamento prévio. poucas pessoas podem sobreviver quando a pressão cai a menos de 15 polegadas de mercúrio. Que altitude é esta?

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial e pede duas coisas. Dados e pedidos (listados claramente):
  • Dado: a pressão barométrica p (em polegadas de mercúrio) satisfaz
\frac{dp}{dx}=-(0,2)\,p,
com a condição inicial
p(0)=29,92.
  • Observação importante: a variável x é a altitude em milhas acima do nível do mar.
  • Pedidos:
    (a) Calcular a pressão barométrica a 10.000 pés e a 30.000 pés.
    (b) Encontrar a altitude à qual a pressão cai para 15 polegadas de mercúrio (isto é, resolver p(x)=15 para x).
  • Informação extra necessária que vou usar sem pedir: 1 milha =5280 pés, então para converter pés em milhas usamos \displaystyle x=\frac{\text{pés}}{5280}é.

Passo 2

Entender a equação diferencial e como resolvê‑la (passo a passo, separação de variáveis).
Temos uma equação de primeira ordem e separável:
\frac{dp}{dx}=-(0,2)\,p.
Separar as variáveis significa colocar todos os termos em p de um lado e os termos em x do outro:
\frac{1}{p}\,dp=-(0,2)\,dx.
Agora integramos ambos os lados. Lembre que a integral de \frac{1}{p}\,dp é \ln|p|, e a integral de uma constante em x é essa constante vezes x, mais uma constante de integração:
\int \frac{1}{p}\,dp=\int -(0,2)\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|p|=-(0,2)x+C,
onde C é uma constante real.

Passo 3

Isolar p (exponenciação) e aplicar a condição inicial para determinar a constante.
Exponenciando ambos os lados (isto remove o logaritmo natural):
|p|=e^{-(0,2)x+C}=e^{C}e^{-(0,2)x}.
Como p é pressão, é positiva, então podemos escrever sem módulo:
p(x)=A\,e^{-(0,2)x},
onde A=e^{C} é uma constante positiva. Usamos a condição inicial p(0)=29,92 para achar A:
p(0)=A e^{0}=A=29,92.
Logo a solução explícita é
\boxed{\,p(x)=29,92\,e^{-(0,2)x}\,}
com x em milhas.

Passo 4

Converter as altitudes pedidas de pés para milhas (detalhe do cálculo e redução de frações).
  • Para 10.000 pés:
x=\frac{10000}{5280}=\frac{125}{66}\\ \text{milhas}\quad(\text{já reduzido}).á
  • Para 30.000 pés:
x=\frac{30000}{5280}=\frac{375}{66}=\frac{125}{22}\\ \text{milhas}.

Passo 5

Calcular a pressão a 10.000 pés substituindo x=\dfrac{125}{66} na fórmula.
A fórmula é p(x)=29,92\,e^{-(0,2)x}. Substituindo:
p\!\left(\frac{125}{66}\right)=29,92\,e^{-(0,2)\frac{125}{66}}.
Calcule o expoente primeiro:
(0,2)\cdot\frac{125}{66}=\frac{25}{66}\quad\Rightarrow\quad\text{expoente}= -\frac{25}{66}\approx -0,3787879.
Logo
p\!\left(\frac{125}{66}\right)=29,92\,e^{-25/66}.
Agora avaliamos numericamente. Usando e^{-25/66}\approx 0,684578 (aproximação obtida por cálculo numérico),
p\!\left(\frac{125}{66}\right)\approx 29,92\times 0,684578\approx 20,48.
Portanto a pressão a 10.000 pés é aproximadamente 20,48 polegadas de mercúrio.

Passo 6

Calcular a pressão a 30.000 pés substituindo x=\dfrac{125}{22} na fórmula.
Substituindo:
p\!\left(\frac{125}{22}\right)=29,92\,e^{-(0,2)\frac{125}{22}}.
Calcule o expoente:
(0,2)\cdot\frac{125}{22}=\frac{25}{22}\quad\Rightarrow\quad\text{expoente}= -\frac{25}{22}\approx -1,1363636.
Logo
p\!\left(\frac{125}{22}\right)=29,92\,e^{-25/22}.
Aproximando e^{-25/22}\approx 0,3208,
p\!\left(\frac{125}{22}\right)\approx 29,92\times 0,3208\approx 9,60.
Portanto a pressão a 30.000 pés é aproximadamente 9,60 polegadas de mercúrio.

Passo 7

Resolver a parte (b): achar a altitude x tal que p(x)=15.
Começamos da solução explícita:
15=29,92\,e^{-(0,2)x}.
Isolando o exponencial:
e^{-(0,2)x}=\frac{15}{29,92}.
Tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
-(0,2)x=\ln\!\left(\frac{15}{29,92}\right).
Logo
x=-\frac{1}{0,2}\ln\!\left(\frac{15}{29,92}\right)=-5\ln\!\left(\frac{15}{29,92}\right).
Agora avaliamos numericamente. Primeiro calcule a razão:
\frac{15}{29,92}\approx 0,5013378,
e
\ln(0,5013378)\approx -0,6904709.
Assim
x\approx -5\times(-0,6904709)=3,4523545\\ \text{milhas}.
Converter para pés (multiplicar por 5280):
x\approx 3,4523545\times 5280\approx 18228\\ \text{pés} \quad(\text{aproximando para pés inteiros}).éé
Portanto a altitude à qual a pressão cai para 15 polegadas de mercúrio é aproximadamente 3,452 milhas, ou cerca de 18.228 pés.

Resposta

(a) 10.000 pés: p\approx 20,48 polegadas de mercúrio.
(a) 30.000 pés: p\approx 9,60 polegadas de mercúrio.
(b) Altitude onde p=15: x\approx 3,452 milhas \approx 18228 pés.

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