( 1, 3 ponto, cada item) Derive:

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função y=l(e^xr)^senx. O conteúdo principal envolve derivadas de funções exponenciais com expoente variável, usando diferenciação logarítmica e regra do produto/regra da cadeia.

Passo 2

Aplicar diferenciação logarítmica: tomamos o logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência. Temos
ln y = senx cdot lnl(e^xr)
Como ln(e^x)=x, obtém-se
ln y = x,senx

Passo 3

Diferenciar ambos os lados implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, ddx[ln y]=y'y. No lado direito, aplicamos a regra do produto em x,senx:
y'y = ddx[x,senx]=senx + xcos x

Passo 4

Isolar y': multiplicamos ambos os lados por y. Como y=l(e^xr)^senx, resulta
y' = yl(senx + xcos xr)=l(e^xr)^senxl(senx + xcos xr)

Resposta

y’=\bigl(ex\bigr){\operatorname{sen}x}\bigl(\operatorname{sen}x + x\cos x\bigr)

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