Encontre as soluções possíveis para as seguintes equações:
raiz2 x+1+1=x

Passo 1

O enunciado pede para achar as soluções da equação envolvendo radiciação raiz2x+1+1=x. O conteúdo é equações com raiz quadrada e vamos precisar usar isolamento do radical, condições de existência e o ato de elevar ao quadrado mantendo o controle de raízes extranhas.

Passo 2

Começamos definindo o domínio de existência da raiz: para raiz2x+1 existir, precisamos de 2x+1>=0. Assim,
2x+1>=0implies x>=-tfrac12

Passo 3

Em seguida, isolamos o radical na equação original:
raiz2x+1=x-1

Passo 4

Para que o lado direito faça sentido (seja não-negativo) devemos ter
x-1>=0implies x>=1

Passo 5

Agora elevamos ao quadrado ambos os lados, cuidando de que isso pode gerar soluções extranas:
l(raiz2x+1r)^2=(x-1)^2implies 2x+1=x^2-2x+1

Passo 6

Reorganizando em forma de polinômio:
x^2-2x+1-2x-1=0implies x^2-4x=0implies x(x-4)=0

Passo 7

As raízes dessa equação quadrática são x=0 e x=4. Agora verificamos com a condição x>=1: apenas x=4 satisfaz.

Passo 8

Por fim, conferimos na equação original:
raiz2cdot4+1+1=raiz9+1=3+1=4,
confirmando que x=4 é solução válida e única.

Resposta

x=4

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