Encontre as soluções possíveis para as seguintes equações:
x^4 / 3-5 x^2 / 3+6=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes da equação envolvendo potências fracionárias:
Conteúdo: manipulação de expoentes fracionários e solução de equação quadrática em nova variável.
Vamos precisar usar a substituição y = x^2/3 para transformar em uma equação quadrática.

Passo 2

Fazendo a substituição y = x^2/3, a equação original
x^4/3 - 5x^2/3 + 6 = 0
vira
y^2 - 5y + 6 = 0

Passo 3

Resolvendo a quadrática y^2 - 5y + 6 = 0, temos:
y = 5 pm raiz(-5)^2 - 4cdot1cdot62 = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12
Logo y1 = 2 e y2 = 3.

Passo 4

Agora voltamos à variável original. Para y1 = 2 temos
$$x^{2/3} = 2 \implies x^{1/3} = \pm\sqrt{2} \implies x = (\pm\sqrt{2})^3 = \pm 2\sqrt{2}.
$$

Passo 5

Para y2 = 3 fazemos o mesmo:
$$x^{2/3} = 3 \implies x^{1/3} = \pm\sqrt{3} \implies x = (\pm\sqrt{3})^3 = \pm 3\sqrt{3}.
$$

Passo 6

Portanto as quatro soluções reais da equação são as combinações encontradas para cada valor de y.

Resposta

As soluções são x = pm 2raiz2 e x = pm 3raiz3.

Exercícios relacionados