Encontre as soluções reais das equações a seguir, caso existam:
\frac{x^{2}}{6}-\frac{24}{9}=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções reais da equação
\frac{x^{2}}{6}-\frac{24}{9}=0.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • Temos uma expressão racional em x igualada a zero.
    O que se pede: todos os números reais x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Primeira simplificação: simplificar a fração \dfrac{24}{9}.
\frac{24}{9}=\frac{24\div 3}{9\div 3}=\frac{8}{3}.
Portanto a equação fica
\frac{x^{2}}{6}-\frac{8}{3}=0.

Passo 3

Eliminar denominadores para trabalhar com uma equação mais simples. Multiplico ambos os lados da equação por 6 (isso é uma transformação válida porque 6\neq0 e preserva as soluções):
6\cdot\left(\frac{x^{2}}{6}-\frac{8}{3}\right)=6\cdot 0.
Calcule cada termo:
6\cdot\frac{x^{2}}{6}=x^{2}, \qquad 6\cdot\frac{8}{3}=6\cdot\frac{8}{3}=2\cdot 8=16, \qquad 6\cdot 0=0.
Logo obtemos a equação sem denominadores:
x^{2}-16=0.

Passo 4

Isolar x^{2}:
x^{2}=16.
Agora aplicamos a propriedade de raízes quadradas: se x^{2}=a com a\ge 0, então x=\pm\sqrt{a}. Aqui a=16 e \sqrt{16}=4. Portanto
x=\pm 4,
ou seja x=4 ou x=-4.

Passo 5

Verificação rápida (substituir cada solução na equação original):
  • Para x=4:
\frac{4^{2}}{6}-\frac{24}{9}=\frac{16}{6}-\frac{24}{9}=\frac{8}{3}-\frac{8}{3}=0.
  • Para x=-4:
\frac{(-4)^{2}}{6}-\frac{24}{9}=\frac{16}{6}-\frac{24}{9}=\frac{8}{3}-\frac{8}{3}=0.
Ambas satisfazem a equação, então são soluções reais válidas.

Resposta

x=4
x=-4

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