Encontre as soluções das seguintes equações diferenciais:
-y^prime prime+2 y^prime-10 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
-,y''+2,y'-10,y=0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^r x. Substituindo na equação, obtemos a característica
-,r^2e^r x+2,r e^r x-10,e^r x=0 Longrightarrow -,r^2+2,r-10=0
Multiplicando por -1, fica
r^2-2,r+10=0

Passo 3

Calculamos o discriminante
De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot10 = 4 - 40 = -36,
que é negativo. As raízes são
r = 2 pm raiz-362 = 1 pm 3,i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas r=1pm3i, a solução geral real é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r)
com alpha=1 e beta=3. Portanto
y(x)=e^xl(C1cos(3x)+C2sin(3x)r)

Resposta

y(x)=e^xl(C1cos(3x)+C2sin(3x)r)

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