Encontre as soluções das seguintes equações diferenciais:
8 y^prime prime+34 y^prime+8 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
8,y'' + 34,y' + 8,y = 0
Este tipo de EDO é típico de “equações características”: vamos buscar a solução geral usando a técnica de ansatz exponencial.

Passo 2

Suponha uma solução da forma
y(x) = e^r x
Então
y'(x) = r,e^r x, y''(x) = r^2,e^r x
Substituindo em 8,y'' + 34,y' + 8,y = 0 temos
8l(r^2 e^r xr) + 34l(r e^r xr) + 8l(e^r xr) = 0
e, como e^r xneq0, surge a equação característica.

Passo 3

A equação característica é
8,r^2 + 34,r + 8 = 0
Calculamos o discriminante
De<a = 34^2 - 4cdot8cdot8 = 1156 - 256 = 900,
cuja raiz quadrada é raizDe<a=30. Então as raízes são
r1,2 = -34 pm 302cdot8 = -34 pm 3016

Passo 4

Isso dá
r1 = -34 + 3016 = -tfrac14, r2 = -34 - 3016 = -4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C1,e^-,x4 + C2,e^-4x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C1,e^-tfracx4 + C2,e^-4x

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