\hline 12- & Usando diferenciais, deduza a fórmula aproximada raiz[3]a^3+h approx a+h3 a^2. Utilize-a para calcular aproximações de raiz[3]63 e raiz[3]65. (Compare com os resultados obtidos em uma calculadora eletrônica.) Respostas. 3, 98 e 4, 02. \

Passo 1

O enunciado pede para usar diferenciais na função
f(x)=raiz[3]x=x^1/3
de modo a deduzir a fórmula aproximada
raiz[3]a^3+happrox a+h3a^2
Em seguida, aplicar essa fórmula para estimar raiz[3]63 e raiz[3]65.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como f(x)=x^1/3, vale
f'(x)=13x^-2/3=13,x^2/3
Pela definição de diferencial, para um incremento h em x temos
De<a y=f(x+h)-f(x)approx f'(x),h

Passo 3

Tomando x=a^3, temos f(a^3)=a e
f'(a^3)=13,(a^3)^2/3=13,a^2
Logo, para h pequeno,
raiz[3]a^3+h=f(a^3+h)approx f(a^3)+f'(a^3),h =a+h3a^2

Passo 4

Para raiz[3]63, note que 4^3=64 está perto de 63. Assim, escolhemos a=4 e h=63-64=-1.
Aplicando a fórmula:
raiz[3]63approx 4+-13cdot4^2 =4-148 =4-0,02083approx3,98

Passo 5

Para raiz[3]65, usamos novamente a=4 e h=65-64=1.
raiz[3]65approx 4+13cdot4^2 =4+148 =4+0,02083approx4,02

Resposta

raiz[3]63approx3,98
raiz[3]65approx4,02

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