Encontre as soluções das seguintes equações diferenciais:
y^prime prime+y^prime+0,5 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' + 0,5,y = 0
O método consiste em assumir y=e^rx, obter a equação característica e encontrar suas raízes.

Passo 2

Supondo y=e^rx, temos
y' = r e^rx, y'' = r^2 e^rx
Substituindo na equação diferencial resulta a equação característica
r^2 + r + 0,5 = 0

Passo 3

Calculemos o discriminante da equação característica:
De<a = 1^2 - 4cdot 1 cdot 0,5 = 1 - 2 = -1
Como De<a<0, as raízes serão complexas conjugadas.

Passo 4

As raízes complexas são
r = -1 pm raiz-12 = -tfrac12 pm tfraci2
Aqui alpha = -tfrac12 e beta = tfrac12.

Passo 5

Para raízes da forma r=alphapm ibeta, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r)
Substituindo alpha=-tfrac12 e beta=tfrac12, obtemos a solução desejada.

Resposta

y(x) = e^-x/2l(C1cos(x/2)+C2sin(x/2)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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