Encontre soluções para
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as soluções
que satisfazem a equação
Informações relevantes dadas (ou implícitas):
- A equação envolve as funções trigonométricas
e . - O domínio exige
porque e . - Queremos todas as soluções reais
(ou a família periódica delas).
Passo 2
Vou usar uma identidade trigonométrica útil. Lembra da identidade pitagórica para tangente e secante:
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Essa identidade é muito prática porque aparece como diferença de quadrados da forma
. De fato,
Aqui expliquei de onde vem a identidade e como ela se relaciona ao produto de conjugados.
Passo 3
Parto da equação dada:
Multiplico ambos os lados por
. Antes de fazer isso, é importante analisar a possibilidade de
: se isso ocorresse, o lado multiplicador seria zero e teríamos que tratar separadamente. Vou tratar essa possibilidade em seguida; por ora faço a multiplicação assumindo que
.
Multiplicando:
Pelo cálculo da diferença de quadrados do passo anterior, o lado esquerdo é
. Assim:
Passo 4
Agora temos duas equações simultâneas (a original e a obtida):
Somando as duas equações cancela
e dá:
Como
, isso implica
As soluções de
são
Para essas
temos
e
, portanto a equação original fica
, que é verdadeira.]
Passo 5
Agora volto à questão que adiei: podia haver soluções com
que eu eliminei ao multiplicar? Vamos verificar essa possibilidade diretamente.
Se
, então
. Substituindo em
daria
, uma contradição. Alternativamente, substituir
na equação original
daria
e então
e também
. Mas
exigiria
, impossível. Portanto não existe solução com
. Conclusão: a multiplicação feita no passo 3 não descartou soluções válidas.
Passo 6
Concluímos que a única família de soluções é aquela obtida em que
, ou seja
Verificação final: para
temos
e
, então
— bate certinho. Não existem outras soluções, como mostramos.