Encontre soluções para
\tan \theta+\operatorname{sec} \theta=1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as soluções \theta que satisfazem a equação
\tan\theta+\operatorname{sec}\theta=1.
Informações relevantes dadas (ou implícitas):
  • A equação envolve as funções trigonométricas \tan e \operatorname{sec}.
  • O domínio exige \cos\theta\neq 0 porque \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} e \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}.
  • Queremos todas as soluções reais \theta (ou a família periódica delas).

Passo 2

Vou usar uma identidade trigonométrica útil. Lembra da identidade pitagórica para tangente e secante:
1+\tan^2\theta=\operatorname{sec}^2\theta.
Subtraindo \tan^2\theta dos dois lados obtemos
\operatorname{sec}^2\theta-\tan^2\theta=1.
Essa identidade é muito prática porque aparece como diferença de quadrados da forma (\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)(\operatorname{sec}\theta-\tan\theta). De fato,
(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)(\operatorname{sec}\theta-\tan\theta)=\operatorname{sec}^2\theta-\tan^2\theta=1.
Aqui expliquei de onde vem a identidade e como ela se relaciona ao produto de conjugados.

Passo 3

Parto da equação dada:
\tan\theta+\operatorname{sec}\theta=1.
Multiplico ambos os lados por \operatorname{sec}\theta-\tan\theta. Antes de fazer isso, é importante analisar a possibilidade de \operatorname{sec}\theta-\tan\theta=0: se isso ocorresse, o lado multiplicador seria zero e teríamos que tratar separadamente. Vou tratar essa possibilidade em seguida; por ora faço a multiplicação assumindo que \operatorname{sec}\theta-\tan\theta\neq 0.
Multiplicando:
(\tan\theta+\operatorname{sec}\theta)(\operatorname{sec}\theta-\tan\theta)=1\cdot(\operatorname{sec}\theta-\tan\theta).
Pelo cálculo da diferença de quadrados do passo anterior, o lado esquerdo é 1. Assim:
1=\operatorname{sec}\theta-\tan\theta.

Passo 4

Agora temos duas equações simultâneas (a original e a obtida):
\begin{cases} \tan\theta+\operatorname{sec}\theta=1,\\[4pt] \operatorname{sec}\theta-\tan\theta=1. \end{cases}
Somando as duas equações cancela \tan\theta e dá:
2\operatorname{sec}\theta=2 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sec}\theta=1.
Como \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}, isso implica
\cos\theta=1.
As soluções de \cos\theta=1 são
\theta=2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Para essas \theta temos \tan\theta=0 e \operatorname{sec}\theta=1, portanto a equação original fica 0+1=1, que é verdadeira.]

Passo 5

Agora volto à questão que adiei: podia haver soluções com \operatorname{sec}\theta-\tan\theta=0 que eu eliminei ao multiplicar? Vamos verificar essa possibilidade diretamente.
Se \operatorname{sec}\theta-\tan\theta=0, então \operatorname{sec}\theta=\tan\theta. Substituindo em (\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)(\operatorname{sec}\theta-\tan\theta)=1 daria 0=1, uma contradição. Alternativamente, substituir \operatorname{sec}\theta=\tan\theta na equação original \tan\theta+\operatorname{sec}\theta=1 daria 2\tan\theta=1 e então \tan\theta=\tfrac{1}{2} e também \operatorname{sec}\theta=\tfrac{1}{2}. Mas \operatorname{sec}\theta=\tfrac{1}{2} exigiria \cos\theta=2, impossível. Portanto não existe solução com \operatorname{sec}\theta-\tan\theta=0. Conclusão: a multiplicação feita no passo 3 não descartou soluções válidas.

Passo 6

Concluímos que a única família de soluções é aquela obtida em que \cos\theta=1, ou seja
\theta=2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Verificação final: para \theta=2k\pi temos \tan\theta=0 e \operatorname{sec}\theta=1, então \tan\theta+\operatorname{sec}\theta=1 — bate certinho. Não existem outras soluções, como mostramos.

Resposta

\theta=2k\pi,\; k\in\mathbb{Z}

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