Encontre a solusão geral da seguinte equação
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral
dessa equação diferencial de segunda ordem.
Informações dadas e observações iniciais:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo independente (lado direito) é o polinômio
(grau 1). - Queremos a solução geral, que normalmente é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular.
Passo 2
Escolha do método (explicando por que): vou usar o método padrão para equações lineares com coeficientes constantes:
- Resolver a equação homogênea associada para obter a solução complementar
. - Encontrar uma solução particular
para a equação completa. Como o termo não homogêneo é um polinômio (grau 1), o método das coeficientes a determinar (undetermined coefficients) é uma escolha natural e simples aqui.
Explicação didática rápida: para equações da forma, a solução geral é , onde resolve a equação homogênea (com ) e é qualquer função que satisfaça a equação completa. O método das coeficientes a determinar consiste em adivinhar uma forma para compatível com (aqui um polinômio de mesmo grau) e ajustar coeficientes para satisfazer a equação.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Escrevemos a homogênea
Escrevemos a homogênea
Formamos a equação característica substituindo
:
Resolvendo,
Explicação do que isso significa: raízes complexas conjugadas
com
e
geram soluções reais lineares independentes
e
. Assim a solução complementar (homogênea) é
onde
e
são constantes arbitrárias (arbitrárias porque a equação é de segunda ordem).
Passo 4
Escolha da forma da solução particular usando coeficientes a determinar:
O lado direito é , um polinômio de grau 1. Pelo método, fazemos a suposição (chute educado)
O lado direito é
onde
e
são constantes a determinar. Antes de usar, verificamos ressonância: se alguma parte de
for solução da homogênea precisaríamos multiplicar por uma potência de
. Aqui as funções da homogênea são
e
, que não são polinômios, logo não há ressonância e a suposição
é válida.
Passo 5
Calcular derivadas de
e substituir na equação para determinar
e
:
Derivando,
Derivando,
Substituindo em
:
Isto é,
Igualando coeficientes dos polinômios (coeficiente de
e termo constante):
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Portanto a solução particular é
Passo 6
Verificação rápida da particular (para ficar seguro): com
temos
e
, logo
, confirma que funciona.
Observação final sobre montagem da solução: a solução geral é a soma da solução complementar
e da particular
.