Encontre a solusão geral da seguinte equação
y^{\prime \prime}+4 y=t .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''+4y=t.
O que se pede: encontrar a solução geral y(t) dessa equação diferencial de segunda ordem.
Informações dadas e observações iniciais:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo independente (lado direito) é o polinômio \,t (grau 1).
  • Queremos a solução geral, que normalmente é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular.

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): vou usar o método padrão para equações lineares com coeficientes constantes:
  1. Resolver a equação homogênea associada para obter a solução complementar y_h(t).
  2. Encontrar uma solução particular y_p(t) para a equação completa. Como o termo não homogêneo é um polinômio (grau 1), o método das coeficientes a determinar (undetermined coefficients) é uma escolha natural e simples aqui.
    Explicação didática rápida: para equações da forma \,y''+ay'+by=f(t), a solução geral é y=y_h+y_p, onde y_h resolve a equação homogênea (com f(t)=0) e y_p é qualquer função que satisfaça a equação completa. O método das coeficientes a determinar consiste em adivinhar uma forma para y_p compatível com f(t) (aqui um polinômio de mesmo grau) e ajustar coeficientes para satisfazer a equação.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
Escrevemos a homogênea
y''+4y=0.
Formamos a equação característica substituindo y\sim e^{rt}:
r^2+4=0.
Resolvendo,
r^2=-4 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 2i.
Explicação do que isso significa: raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta com \alpha=0 e \beta=2 geram soluções reais lineares independentes \cos(2t) e \sin(2t). Assim a solução complementar (homogênea) é
y_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (arbitrárias porque a equação é de segunda ordem).

Passo 4

Escolha da forma da solução particular usando coeficientes a determinar:
O lado direito é t, um polinômio de grau 1. Pelo método, fazemos a suposição (chute educado)
y_p(t)=At+B,
onde A e B são constantes a determinar. Antes de usar, verificamos ressonância: se alguma parte de y_p for solução da homogênea precisaríamos multiplicar por uma potência de t. Aqui as funções da homogênea são \cos(2t) e \sin(2t), que não são polinômios, logo não há ressonância e a suposição \,At+B é válida.

Passo 5

Calcular derivadas de y_p e substituir na equação para determinar A e B:
Derivando,
y_p'(t)=A,\qquad y_p''(t)=0.
Substituindo em \,y''+4y=t:
0 + 4(At+B)=t.
Isto é,
4A t + 4B = t.
Igualando coeficientes dos polinômios (coeficiente de t e termo constante):
  • Coeficiente de t: \,4A=1\Rightarrow A=\tfrac{1}{4}.
  • Termo constante: \,4B=0\Rightarrow B=0.
Portanto a solução particular é
y_p(t)=\tfrac{1}{4}t.

Passo 6

Verificação rápida da particular (para ficar seguro): com y_p(t)=\tfrac{1}{4}t temos y_p''=0 e 4y_p=4\cdot\tfrac{1}{4}t=t, logo y_p''+4y_p=t, confirma que funciona.
Observação final sobre montagem da solução: a solução geral é a soma da solução complementar y_h e da particular y_p.

Resposta

y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)+\dfrac{1}{4}t

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