A série abaixo converge ou diverge?
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n}{n+1}

Passo 1

O enunciado dá a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{n+1}
e pede para determinar se esta série converge ou diverge. Informação importante que vem do enunciado:
  • O termo geral é (-1)^{n}\dfrac{n}{n+1}.
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^{n}.
O que se pergunta: converge (condicionalmente ou absolutamente) ou diverge?

Passo 2

Vou lembrar um fato básico e essencial (teste necessário para convergência), que é muito usado em provas e provas rápidas:
Teorema (teste da divergência / termo geral): Se a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converge, então o termo geral satisfaz
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Explicando por que isso é verdade, de forma intuitiva: se S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n converge para algum S, então a_{N}=S_N-S_{N-1} tende a S-S=0. Portanto, um passo rápido numa prova é sempre checar se a_n tende a zero — se não tender, a série diverge imediatamente. Atenção: esse teste é necessário mas não é suficiente (há séries com a_n\to0 que ainda divergem, por exemplo a série harmônica), mas quando o limite não é zero dá para concluir divergência na hora.

Passo 3

Calculo o limite do termo geral a_n = (-1)^{n}\dfrac{n}{n+1}. Primeiro observo o comportamento da magnitude:
\left|\frac{n}{n+1}\right|=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}.
Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1.
Portanto a magnitude dos termos tende a 1, não a 0.

Passo 4

Como o sinal alterna, é útil olhar as subsequências par e ímpar para o termo a_n:
  • Para n=2k (pares) temos (-1)^{2k}=1, então
a_{2k}=\frac{2k}{2k+1}\xrightarrow[k\to\infty]{}1.
  • Para n=2k+1 (ímpares) temos (-1)^{2k+1}=-1, então
a_{2k+1}=-\frac{2k+1}{2k+2}\xrightarrow[k\to\infty]{}-1.
Portanto a sequência (a_n) não tem limite único; as subsequências tendem a 1 e a -1. Em particular não vale
\lim_{n\to\infty} a_n=0.

Passo 5

Pelo teste da divergência (Passo 2), como \lim_{n\to\infty} a_n não é 0, concluímos imediatamente que a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{n+1}
diverge.

Passo 6

Complemento didático (ativo para a prova): outra maneira de ver que não há convergência absoluta é observar que, para todo n\ge1,
\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}\ge\frac{1}{2},
pois \frac{1}{n+1}\le\frac{1}{2}. Assim a série das magnitudes satisfaz
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\!(-1)^{n}\frac{n}{n+1}\!\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}\ge\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2},
e a soma à direita diverge (é uma soma infinita de constantes positivas), então a série não é absolutamente convergente. Mas isso é redundante aqui, já que o teste do termo geral (Passos 2–5) já garante divergência.

Passo 7

Resumo prático para a prova: sempre que encontrar uma série e suspeitar de divergência, cheque primeiro \lim a_n. Se esse limite não for zero, pode afirmar “diverge” sem mais contas. Neste problema o limite não é zero (as subsequências tendem a 1 e -1), logo a série diverge. Força aí — isso é um daqueles casos que cai fácil na prova!

Resposta

Diverge.

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