e pede para determinar se esta série converge ou diverge. Informação importante que vem do enunciado:
O termo geral é (-1)^{n}\dfrac{n}{n+1}.
A série é alternada por causa do fator (-1)^{n}.
O que se pergunta: converge (condicionalmente ou absolutamente) ou diverge?
Passo 2
Vou lembrar um fato básico e essencial (teste necessário para convergência), que é muito usado em provas e provas rápidas:
Teorema (teste da divergência / termo geral): Se a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converge, então o termo geral satisfaz
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Explicando por que isso é verdade, de forma intuitiva: se S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n converge para algum S, então a_{N}=S_N-S_{N-1} tende a S-S=0. Portanto, um passo rápido numa prova é sempre checar se a_n tende a zero — se não tender, a série diverge imediatamente. Atenção: esse teste é necessário mas não é suficiente (há séries com a_n\to0 que ainda divergem, por exemplo a série harmônica), mas quando o limite não é zero dá para concluir divergência na hora.
Passo 3
Calculo o limite do termo geral a_n = (-1)^{n}\dfrac{n}{n+1}. Primeiro observo o comportamento da magnitude:
e a soma à direita diverge (é uma soma infinita de constantes positivas), então a série não é absolutamente convergente. Mas isso é redundante aqui, já que o teste do termo geral (Passos 2–5) já garante divergência.
Passo 7
Resumo prático para a prova: sempre que encontrar uma série e suspeitar de divergência, cheque primeiro \lim a_n. Se esse limite não for zero, pode afirmar “diverge” sem mais contas. Neste problema o limite não é zero (as subsequências tendem a 1 e -1), logo a série diverge. Força aí — isso é um daqueles casos que cai fácil na prova!