Encontre a soma, caso seja convergente, das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede a soma, caso convergente, da série infinita
Informações dadas e pedido:
- Temos a sequência de termos
para . - A pergunta é: a série
converge? Se sim, qual é a sua soma?
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: fatorar o denominador e fazer decomposição em frações parciais. Observa-se que
Queremos escrever
onde
e
são constantes que dependem apenas de
através de
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agrupando termos em
:
Para essa igualdade valer para todo
, os coeficientes devem coincidir:
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Logo a decomposição é
Passo 3
Agora vemos que a soma parcial até
telescopa. Definindo a soma parcial
substituindo a decomposição:
Escrevendo os primeiros termos explicitamente para ver o telescópico:
Nessa soma, todos os termos intermediários cancelam em pares, ficando apenas os primeiros e últimos pedaços:
Portanto
Pode-se simplificar também como
mas a forma
deixa claro o limite.
Passo 4
Agora calculamos o limite das somas parciais quando
. Observando
Portanto a série converge e sua soma é
.
Outra maneira de ver a convergência (não necessária para obter a soma, mas útil para entender): para
,
Como a série-p
converge (pelo critério da série p com
), por comparação a série dada converge absolutamente. Isso confirma que o procedimento com somas parciais e o limite é legítimo.
Passo 5
Exemplo numérico rápido para intuir: para
,
Para
,
e pela fórmula
. (Aqui atenção: a soma correta é
; rechecando, note que a fórmula exata do passo 3 dá
. O valor
está correto? Vamos reavaliar: para
,
, então termo é
. Soma
. Portanto o cálculo anterior com
foi um erro de escrita; o resultado final coincide com a fórmula.)
Para grande a soma parcial se aproxima de
.
Para
Força aí — você já viu o truque principal (decomposição parcial e telescópio) e a resposta exata.