Encontre a soma, caso seja convergente, das seguintes séries:
\sum \frac{1}{4 n^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede a soma, caso convergente, da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^{2}-1}.
Informações dadas e pedido:
  • Temos a sequência de termos a_n=\dfrac{1}{4n^{2}-1} para n=1,2,3,\dots.
  • A pergunta é: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge? Se sim, qual é a sua soma?

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: fatorar o denominador e fazer decomposição em frações parciais. Observa-se que
4n^{2}-1=(2n-1)(2n+1).
Queremos escrever
\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1},
onde A e B são constantes que dependem apenas de n através de 2n\pm1. Multiplicando ambos os lados por (2n-1)(2n+1) obtemos
1=A(2n+1)+B(2n-1).
Agrupando termos em n:
1=(2A+2B)n+(A-B).
Para essa igualdade valer para todo n, os coeficientes devem coincidir:
2A+2B=0,\qquad A-B=1.
Da primeira equação vem A=-B. Substituindo na segunda:
A-(-A)=1\quad\Rightarrow\quad 2A=1\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2},\quad B=-\tfrac{1}{2}.
Logo a decomposição é
\frac{1}{4n^{2}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right).

Passo 3

Agora vemos que a soma parcial até N telescopa. Definindo a soma parcial
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{4n^{2}-1},
substituindo a decomposição:
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right) =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right).
Escrevendo os primeiros termos explicitamente para ver o telescópico:
\begin{aligned} \sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right) &=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots\\\ &\quad+\left(\frac{1}{2N-1}-\frac{1}{2N+1}\right). \end{aligned}
Nessa soma, todos os termos intermediários cancelam em pares, ficando apenas os primeiros e últimos pedaços:
\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{1}{1}-\frac{1}{2N+1}.
Portanto
S_{N}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2N+1}\right) =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2N+1}\right).
Pode-se simplificar também como
S_{N}=\frac{N}{2N+1},
mas a forma \tfrac{1}{2}\bigl(1-\tfrac{1}{2N+1}\bigr) deixa claro o limite.

Passo 4

Agora calculamos o limite das somas parciais quando N\to\infty. Observando
\lim_{N\to\infty} S_{N}=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2N+1}\right) =\frac{1}{2}\left(1-0\right)=\frac{1}{2}.
Portanto a série converge e sua soma é \tfrac{1}{2}.
Outra maneira de ver a convergência (não necessária para obter a soma, mas útil para entender): para n\ge 1,
0<\frac{1}{4n^{2}-1}<\frac{1}{4n^{2}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
Como a série-p \sum \frac{1}{n^{2}} converge (pelo critério da série p com p=2>1), por comparação a série dada converge absolutamente. Isso confirma que o procedimento com somas parciais e o limite é legítimo.

Passo 5

Exemplo numérico rápido para intuir: para N=1,
S_{1}=\frac{1}{4\cdot1^{2}-1}=\frac{1}{3}\approx0,3333.
Para N=2,
S_{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}=\frac{6+2}{15}=\frac{8}{15}\approx0,5333,
e pela fórmula S_{2}=\dfrac{2}{5}=0,4. (Aqui atenção: a soma correta é \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{15}=\dfrac{6+2}{15}=\dfrac{8}{15}\approx0,5333; rechecando, note que a fórmula exata do passo 3 dá S_{2}=\dfrac{2}{5}=0,4. O valor \dfrac{1}{15} está correto? Vamos reavaliar: para n=2, 4n^{2}-1=16-1=15, então termo é 1/15. Soma 1/3+1/15=5/15+1/15=6/15=2/5=0,4. Portanto o cálculo anterior com 6+2 foi um erro de escrita; o resultado final coincide com a fórmula.)
Para N grande a soma parcial se aproxima de 0,5.
Força aí — você já viu o truque principal (decomposição parcial e telescópio) e a resposta exata.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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