Encontre a soma, caso seja convergente, das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado fornece a série cujo termo geral é
e pede para encontrar a soma caso a série seja convergente.
Para prosseguir, vou assumir a convenção usual de séries sem índice explícito: a soma é tomada para variando de
até
. Ou seja, trabalharei com
Para prosseguir, vou assumir a convenção usual de séries sem índice explícito: a soma é tomada para
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever o termo de forma que fique claro o tipo de série. Podemos escrever
logo a série fica
Neste formato já dá para ver que cada termo é obtido multiplicando o anterior por
. O primeiro termo (quando
) é
e a razão (razão comum entre termos consecutivos) é
Passo 3
Agora uma mini-aula sobre a soma de séries geométricas (fundamental aqui). Considere uma série geométrica com primeiro termo
e razão
:
ou, equivalentemente, escrita com potência começando em
,
Para entender a soma parcial, defina a soma dos primeiros
termos:
Multiplicando essa igualdade por
e subtraindo, obtém-se a fórmula fechada:
logo
Passo 4
Critério de convergência (explicando devagar): se
, então
. Assim, no caso
a soma infinita existe e vale
Se
, a série não converge (explodiria ou os termos não tendem a zero).
Passo 5
Aplicando isso ao nosso problema: já identificamos
e
. Como
, a série converge. Usando a fórmula da soma com o primeiro termo
e razão
,
Passo 6
Vamos simplificar a expressão obtida passo a passo:
Um jeito intuitivo de checar: os primeiros termos são
,
,
,
; somando alguns já se aproxima de
, que é
.