Encontre a soma, caso seja convergente, das seguintes séries:
\sum \frac{6}{10^{n}}

Passo 1

O enunciado fornece a série cujo termo geral é \dfrac{6}{10^{n}} e pede para encontrar a soma caso a série seja convergente.
Para prosseguir, vou assumir a convenção usual de séries sem índice explícito: a soma é tomada para n variando de 1 até +\infty. Ou seja, trabalharei com
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{10^{n}}.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever o termo de forma que fique claro o tipo de série. Podemos escrever
\frac{6}{10^{n}} = 6\left(\frac{1}{10}\right)^{n},
logo a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} 6\left(\frac{1}{10}\right)^{n}.
Neste formato já dá para ver que cada termo é obtido multiplicando o anterior por \dfrac{1}{10}. O primeiro termo (quando n=1) é
a_1 = 6\left(\frac{1}{10}\right)=\frac{6}{10},
e a razão (razão comum entre termos consecutivos) é
r=\frac{1}{10}.

Passo 3

Agora uma mini-aula sobre a soma de séries geométricas (fundamental aqui). Considere uma série geométrica com primeiro termo a e razão r:
\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} \quad\text{ou}\quad \sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{n-1},
ou, equivalentemente, escrita com potência começando em n=1,
\sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{n-1} = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \cdots.
Para entender a soma parcial, defina a soma dos primeiros N termos:
S_N = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^{N-1}.
Multiplicando essa igualdade por r e subtraindo, obtém-se a fórmula fechada:
rS_N = a_1 r + a_1 r^2 + \cdots + a_1 r^{N},
S_N - rS_N = a_1 - a_1 r^{N},
S_N(1-r) = a_1(1-r^{N}),
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S_N = \frac{a_1(1-r^{N})}{1-r}\quad\text{(para }r\neq 1\text{)}.

Passo 4

Critério de convergência (explicando devagar): se |r|<1, então \lim_{N\to\infty} r^{N}=0. Assim, no caso |r|<1 a soma infinita existe e vale
\sum_{n=1}^{\infty} a_1 r^{n-1} = \lim_{N\to\infty} S_N = \frac{a_1}{1-r}.
Se |r|\ge 1, a série não converge (explodiria ou os termos não tendem a zero).

Passo 5

Aplicando isso ao nosso problema: já identificamos a_1=\dfrac{6}{10} e r=\dfrac{1}{10}. Como |r|=\dfrac{1}{10}<1, a série converge. Usando a fórmula da soma com o primeiro termo a_1 e razão r,
\sum_{n=1}^{\infty} 6\left(\frac{1}{10}\right)^{n} = \frac{a_1}{1-r} = \frac{\dfrac{6}{10}}{1-\dfrac{1}{10}}.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão obtida passo a passo:
\frac{\dfrac{6}{10}}{1-\dfrac{1}{10}} = \frac{\dfrac{6}{10}}{\dfrac{9}{10}} = \dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{10}{9} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}.
Um jeito intuitivo de checar: os primeiros termos são 0{,}6, 0{,}06, 0{,}006, \ldots; somando alguns já se aproxima de 0{,}666\ldots, que é \dfrac{2}{3}.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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