Encontre a soma, caso seja convergente, das seguintes séries:
\sum \frac{2}{(2 n+5)(2 n+3)}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a soma, caso seja convergente, da série
\sum \frac{2}{(2 n+5)(2 n+3)}.
Vou assumir que a série é a série infinita com n variando de 0 até \infty, isto é
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{(2 n+5)(2 n+3)}.
Informações relevantes dadas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{2}{(2n+5)(2n+3)}.
  • A tarefa é (1) verificar convergência e (2) calcular a soma se convergente.

Passo 2

Testar convergência da série. Uma ideia rápida: para n grande, os termos têm comportamento do tipo constante dividido por n^2, o que sugere convergência (p-série com p=2). Vou fazer um teste de comparação por limite (limit comparison) com a série \sum \dfrac{1}{n^2}.
Calculemos o limite
\lim_{n\to\infty} n^{2} a_n = \lim_{n\to\infty} n^{2}\cdot \frac{2}{(2n+5)(2n+3)}.
Dividindo numerador e denominador por n^2,
\lim_{n\to\infty} n^{2} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{(2+\tfrac{5}{n})(2+\tfrac{3}{n})} = \frac{2}{2\cdot 2}=\frac{1}{2}.
Como o limite é finito e positivo, a série \sum a_n tem o mesmo comportamento de \sum 1/n^2. A série \sum 1/n^2 converge (p-série com p=2>1), logo a nossa série também converge absolutamente. Portanto faz sentido calcular sua soma.

Passo 3

Fazer decomposição em frações parciais para tentar somar (telescopar). Escrevemos
\frac{2}{(2n+5)(2n+3)}=\frac{A}{2n+3}+\frac{B}{2n+5}.
Multiplicando ambos os lados por (2n+5)(2n+3)\) obtemos \[2 = A(2n+5)+B(2n+3).
Isso é uma identidade em n. Agrupando coeficientes de n e termos constantes:
2 = (2A+2B)n + (5A+3B).
Comparando coeficientes (polinômio identicamente igual):
\begin{cases} 2A+2B = 0,\\[4pt] 5A+3B = 2. \end{cases}
Da primeira equação segue A+B=0\], ou seja \(B=-A. Substituindo na segunda:
5A+3(-A)=2 \quad\Rightarrow\quad 2A=2 \quad\Rightarrow\quad A=1.
Logo B=-1. Portanto
\frac{2}{(2n+5)(2n+3)}=\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}.]

Passo 4

Agora somamos os termos usando telescópico. Definindo a soma parcial
S_N=\sum_{n=0}^{N}\left(\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}\right),
lista-se os primeiros termos para ver o cancelamento:
\begin{aligned} n=0:&\\ \frac{1}{3}-\frac{1}{5},\\\ n=1:&\\ \frac{1}{5}-\frac{1}{7},\\\ n=2:&\\ \frac{1}{7}-\frac{1}{9},\\\ &\\ \\ \vdots\\\ n=N:&\\ \frac{1}{2N+3}-\frac{1}{2N+5}. \end{aligned}
Ao somar, todos os termos internos cancelam em pares \frac{1}{5},\frac{1}{7},\ldots,\frac{1}{2N+3} e resta apenas
S_N = \frac{1}{3} - \frac{1}{2N+5}.

Passo 5

Tomando o limite quando N\to\infty,
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{(2n+5)(2n+3)} = \lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2N+5}\right) = \frac{1}{3},
pois \dfrac{1}{2N+5}\to 0 quando N\to\infty.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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