Encontre a soma, caso seja convergente, das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a soma, caso seja convergente, da série
Vou assumir que a série é a série infinita com
variando de
até
, isto é
Informações relevantes dadas:
- O termo geral é
. - A tarefa é (1) verificar convergência e (2) calcular a soma se convergente.
Passo 2
Testar convergência da série. Uma ideia rápida: para
grande, os termos têm comportamento do tipo constante dividido por
, o que sugere convergência (p-série com
). Vou fazer um teste de comparação por limite (limit comparison) com a série
.
Calculemos o limite
Dividindo numerador e denominador por
,
Como o limite é finito e positivo, a série
tem o mesmo comportamento de
. A série
converge (p-série com
), logo a nossa série também converge absolutamente. Portanto faz sentido calcular sua soma.
Passo 3
Fazer decomposição em frações parciais para tentar somar (telescopar). Escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
Isso é uma identidade em
. Agrupando coeficientes de
e termos constantes:
Comparando coeficientes (polinômio identicamente igual):
Da primeira equação segue
. Substituindo na segunda:
Logo
. Portanto
Passo 4
Agora somamos os termos usando telescópico. Definindo a soma parcial
lista-se os primeiros termos para ver o cancelamento:
Ao somar, todos os termos internos cancelam em pares
e resta apenas
Passo 5
Tomando o limite quando
,
pois
quando
.