Encontre a soma, caso seja convergente, das seguintes séries: \sum \frac{2}{3^{n+1}}
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a soma, caso a série seja convergente, da série
\sum \frac{2}{3^{n+1}}.
Informações dadas:
O termo geral é \dfrac{2}{3^{n+1}}.
Como o índice de soma não foi especificado, vou adotar a convenção padrão mais comum para séries desse tipo: a soma é de n=0 até n=\infty. Ou seja, estamos interpretando a série como
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{3^{n+1}}.
O objetivo é decidir se essa série converge e, se convergir, calcular sua soma.
Passo 2
Entendendo o tipo de série: esta é uma série geométrica disfarçada. Vou explicar o que é uma série geométrica e a fórmula da soma, passo a passo, como se estivéssemos na prova.
Definição e fórmula:
Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n},
onde a é o primeiro termo (quando n=0) e r é a razão comum entre termos consecutivos.
A série geométrica converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é
S=\frac{a}{1-r}.
Derivação rápida (útil para decorar com entendimento):
Escreva S=a+ar+ar^{2}+\cdots.
Multiplique por r: rS=ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots.
Subtraindo: S-rS=a, ou seja (1-r)S=a.
Logo S=\dfrac{a}{1-r}. Esse passo só faz sentido se \lim_{n\to\infty} r^{n}=0, que acontece exatamente quando |r|<1.