Encontre a soma, caso seja convergente, das seguintes séries:
\sum \frac{2}{3^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a soma, caso a série seja convergente, da série
\sum \frac{2}{3^{n+1}}.
Informações dadas:
  • O termo geral é \dfrac{2}{3^{n+1}}.
  • Como o índice de soma não foi especificado, vou adotar a convenção padrão mais comum para séries desse tipo: a soma é de n=0 até n=\infty. Ou seja, estamos interpretando a série como
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{3^{n+1}}.
O objetivo é decidir se essa série converge e, se convergir, calcular sua soma.

Passo 2

Entendendo o tipo de série: esta é uma série geométrica disfarçada. Vou explicar o que é uma série geométrica e a fórmula da soma, passo a passo, como se estivéssemos na prova.
Definição e fórmula:
  • Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n},
onde a é o primeiro termo (quando n=0) e r é a razão comum entre termos consecutivos.
  • A série geométrica converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é
S=\frac{a}{1-r}.
Derivação rápida (útil para decorar com entendimento):
  • Escreva S=a+ar+ar^{2}+\cdots.
  • Multiplique por r: rS=ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots.
  • Subtraindo: S-rS=a, ou seja (1-r)S=a.
  • Logo S=\dfrac{a}{1-r}. Esse passo só faz sentido se \lim_{n\to\infty} r^{n}=0, que acontece exatamente quando |r|<1.

Passo 3

Colocando a série na forma geométrica explícita.
Primeiro reescrevo o termo geral:
\frac{2}{3^{n+1}}=2\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}.
Agora fatoro um \left(\tfrac{1}{3}\right) para deixar a potência em n:
2\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}=\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.
Portanto a série fica
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{3^{n+1}}=\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.
Comparando com \sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}, identificamos:
  • a=\dfrac{2}{3} (o primeiro termo, quando n=0),
  • r=\dfrac{1}{3} (a razão).
    Verificação da convergência: |r|=\left|\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}<1. Logo a série converge.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica.
Usando S=\dfrac{a}{1-r} com a=\dfrac{2}{3} e r=\dfrac{1}{3}:
S=\frac{\dfrac{2}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}.
Calculo do denominador:
1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}.
Agora a divisão:
S=\frac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{2}{3}}=1.

Passo 5

Intuição e checagem rápida com soma parcial (para você sentir que faz sentido).
  • Soma parcial com n=0 só: S_{0}=\dfrac{2}{3}.
  • Com n=0,1: S_{1}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{8}{9}.
  • Com n=0,1,2: S_{2}=\dfrac{8}{9}+\dfrac{2}{27}=\dfrac{26}{27}.
    Os S_{k} vão se aproximando de 1, então faz sentido a soma ser 1.

Passo 6

Resposta final: a série converge (é geométrica com razão \tfrac{1}{3}) e sua soma é 1. Força aí nos estudos — você consegue!

Resposta

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