(a) Encontre a soma parcial s10 da série Sigman=1^infty 1 / n^4. Estime o erro cometido ao usar s10 como uma aproximação para a soma da série.
(b) Utilize 3 com n=10 para dar uma estimativa melhorada da soma.
(c) Compare sua estimativa da parte (b) com o valor exato dado no Exercício 35.
(d) Encontre um valor de n tal que sn represente a soma com precisão de 0,00001 .

Passo 1

O enunciado pede para a série
sumn=1^infty1n^4
(a) calcular a soma parcial s10=sumn=1^101/n^4 e estimar o erro R10=S-s10 usando o teste da integral,
(b) obter uma estimativa melhor usando o fato de que, para f(x)=1/x^4 decrescente,
integraln+1^inftyf(x),dx<= Rn<=integraln^inftyf(x),dx,
(c) comparar com o valor exato zeta(4)=pi^4/90,
(d) achar n tal que Rn<10^-5.

Passo 2

Vamos calcular
s10=sumn=1^101n^4 =1+116+181+1256+1625 +11296+12401+14096+16561+110000
Somando numericamente termo a termo obtemos
s10approx1,082036584

Passo 3

Pelo teste da integral, como f(x)=1/x^4 é positiva e decrescente,
R10<=integral10^inftydxx^4 =gl[-13x^3gr]10^infty =13cdot10^3 =13000approx0,0003333
Logo ao usar s10 a erro não excede 0,0003333.

Passo 4

Para refinar, aplicamos
integral11^inftydxx^4<= R10<=integral10^inftydxx^4
Calculamos
integral11^inftydxx^4=13cdot11^3 =13993approx0,0002502,
integral10^inftydxx^4=13000approx0,0003333
Uma boa estimativa melhorada para S é
s10+1/(3cdot10^3)+1/(3cdot11^3)2 =1,082036584+0,0003333+0,00025022 approx1,0823284

Passo 5

Portanto a estimativa melhorada é
Sapprox1,0823284

Passo 6

O valor exato dado no Exercício 35 é
zeta(4)=pi^490approx1,0823230
Comparando, nosso valor 1,0823284 difere em cerca de 5times10^-6, o que é muito bom.

Passo 7

Para garantir Rn<10^-5 usamos o majorante
Rn<=integraln^inftydxx^4=13n^3<10^-5 Longrightarrow n^3>13cdot10^-5=33333,3
Longrightarrow n>raiz[3]33333,3approx32,2
Logo basta tomar n=33.

Resposta

(a) s10approx1,082036584, com erro R10<=0,0003333.
(b) Estimativa melhorada Sapprox1,0823284.
(c) Exato pi^4/90approx1,0823230; nosso valor difere em 5times10^-6.
(d) Basta n=33 para Rn<10^-5.

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