(a) Encontre a soma parcial
da série
. Estime o erro cometido ao usar
como uma aproximação para a soma da série.
(b) Utilize
para dar uma estimativa melhorada da soma.
(c) Compare sua estimativa da parte (b) com o valor exato dado no Exercício 35.
(d) Encontre um valor de
tal que
represente a soma com precisão de 0,00001 .
(b) Utilize
(c) Compare sua estimativa da parte (b) com o valor exato dado no Exercício 35.
(d) Encontre um valor de
Passo 1
O enunciado pede para a série
(a) calcular a soma parcial
e estimar o erro
usando o teste da integral,
(b) obter uma estimativa melhor usando o fato de que, para decrescente,
(b) obter uma estimativa melhor usando o fato de que, para
(c) comparar com o valor exato
,
(d) achar tal que
.
(d) achar
Passo 2
Vamos calcular
Somando numericamente termo a termo obtemos
Passo 3
Pelo teste da integral, como
é positiva e decrescente,
Logo ao usar
a erro não excede
.
Passo 4
Para refinar, aplicamos
Calculamos
Uma boa estimativa melhorada para
é
Passo 5
Portanto a estimativa melhorada é
Passo 6
O valor exato dado no Exercício 35 é
Comparando, nosso valor
difere em cerca de
, o que é muito bom.
Passo 7
Para garantir
usamos o majorante
Logo basta tomar
.
Resposta
(a)
, com erro
.
(b) Estimativa melhorada .
(c) Exato ; nosso valor difere em
.
(d) Basta para
.
(b) Estimativa melhorada
(c) Exato
(d) Basta