Use a soma dos oito primeiros termos para aproximar a soma da série sumn=1^infty(2+5^n)^-1. Estime o erro envolvido nessa aproximação.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a soma da série sumn=1^infty12+5^n usando os oito primeiros termos e depois estimar o erro dessa aproximação. O conteúdo envolve séries infinitas e a técnica de comparação com uma série geométrica para controlar o resto.

Passo 2

Vamos calcular a soma parcial de ordem 8, isto é S8=sumn=1^812+5^n. Para cada n de 1 a 8, temos:
  • n=1:;12+5 = 17 approx 0,142857
  • n=2:;12+5^2 = 127approx0,037037
  • n=3:;1127approx0,007874
  • n=4:;1627approx0,001595
  • n=5:;13127approx0,000320
  • n=6:;115627approx0,000064
  • n=7:;178127approx0,000013
  • n=8:;1390627approx0,000003
    Somando tudo:
S8approx0,142857+0,037037+0,007874+0,001595+0,000320+0,000064+0,000013+0,000003approx0,189762

Passo 3

Para estimar o erro, observamos que para n>8 vale 2+5^n>5^n, logo
12+5^n<=15^n

Passo 4

Assim o resto R8=sumn=9^infty12+5^n satisfaz
R8<=sumn=9^infty15^n=1/5^91-1/5=14cdot5^8=11562500approx6,4times10^-7

Resposta

Usando os 8 primeiros termos obtemos S8approx0,189762 e o erro satisfaz R8<=6,4times10^-7.

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