Encontre a soma das seguintes séries:
(d) 1-12+14-18+ldots+(-1)^n-1 12^n-1+ldots

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer somar a série infinita
1 − 1/2 + 1/4 − 1/8 + ⋯ + (−1)^{n−1} 1/2^{n−1} + ⋯
O conteúdo aqui é soma de uma progressão geométrica (PG) infinita.

Passo 2

Identificação da PG infinita: note que cada termo é obtido multiplicando o anterior por −1/2. Portanto o primeiro termo é
a1 = 1
e a razão é
r = -tfrac12

Passo 3

Condição de convergência: para uma PG infinita convergir, precisamos ter |r| < 1. Aqui |−1/2| = 1/2 < 1, então a soma existe.

Passo 4

Fórmula da soma da PG infinita: quando |r| < 1, a soma S é dada por
S = a11 - r

Passo 5

Cálculo da soma: substituindo a_1 = 1 e r = −1/2 na fórmula,
S = 11 - (-tfrac12) = 11 + tfrac12 = 1tfrac32 = tfrac23

Resposta

tfrac23

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