Encontre a soma das seguintes séries:
(d)
(d)
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente quer somar a série infinita
1 − 1/2 + 1/4 − 1/8 + ⋯ + (−1)^{n−1} 1/2^{n−1} + ⋯
O conteúdo aqui é soma de uma progressão geométrica (PG) infinita.
1 − 1/2 + 1/4 − 1/8 + ⋯ + (−1)^{n−1} 1/2^{n−1} + ⋯
O conteúdo aqui é soma de uma progressão geométrica (PG) infinita.
Passo 2
Identificação da PG infinita: note que cada termo é obtido multiplicando o anterior por −1/2. Portanto o primeiro termo é
e a razão é
Passo 3
Condição de convergência: para uma PG infinita convergir, precisamos ter |r| < 1. Aqui |−1/2| = 1/2 < 1, então a soma existe.
Passo 4
Fórmula da soma da PG infinita: quando |r| < 1, a soma S é dada por
Passo 5
Cálculo da soma: substituindo a_1 = 1 e r = −1/2 na fórmula,