Encontre a soma das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a soma de uma série infinita que tem como termos
,
,
e assim por diante. O conteúdo que vamos usar aqui é de progressão geométrica, e precisamos entender a fórmula para somar uma série infinita desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos da nossa série. Em uma progressão geométrica, temos dois componentes principais:
-
Primeiro termo (
): É o primeiro número da série. No nosso caso, o primeiro termo é . -
Razão (
): É o número que multiplicamos pelo termo anterior para chegar no próximo. Aqui, vamos dividir cada termo por , então a razão é .
Passo 3
Agora que sabemos o primeiro termo e a razão, vamos lembrar a fórmula para a soma de uma série geométrica infinita. A fórmula é:
Essa fórmula só funciona se a razão
for um número entre -1 e 1, o que garante que a série converge para um valor finito. No nosso caso,
, que está dentro desse intervalo, então podemos aplicar a fórmula.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula. Temos:
Primeiro, vamos calcular o denominador:
Agora, a expressão fica:
Passo 5
Simplificando a fração
:
Resposta
A soma da série é
.