Encontre a soma das seguintes séries:
9100 1+9100^2+9100^3+ldots+9100^n+ldots

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a soma de uma série infinita que tem como termos 9100, 9100^2, 9100^3 e assim por diante. O conteúdo que vamos usar aqui é de progressão geométrica, e precisamos entender a fórmula para somar uma série infinita desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos da nossa série. Em uma progressão geométrica, temos dois componentes principais:
  • Primeiro termo ( a1): É o primeiro número da série. No nosso caso, o primeiro termo é 9100.
  • Razão ( r): É o número que multiplicamos pelo termo anterior para chegar no próximo. Aqui, vamos dividir cada termo por 100, então a razão é 1100.

Passo 3

Agora que sabemos o primeiro termo e a razão, vamos lembrar a fórmula para a soma de uma série geométrica infinita. A fórmula é:
S = a11 - r
Essa fórmula só funciona se a razão r for um número entre -1 e 1, o que garante que a série converge para um valor finito. No nosso caso, r = 1100, que está dentro desse intervalo, então podemos aplicar a fórmula.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula. Temos:
S = 91001 - 1100
Primeiro, vamos calcular o denominador:
1 - 1100 = 100100 - 1100 = 99100
Agora, a expressão fica:
S = 910099100 = 9100 times 10099 = 999

Passo 5

Simplificando a fração 999:
999 = 111

Resposta

A soma da série é 111.

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