Calcular a área da região R delimitada pelas curvas y=x^2 e x+y=2

Passo 1

O enunciado pede calcular a área da região R limitada pela parábola y=x^2 e pela reta x+y=2. O conteúdo usado é área entre curvas, e vamos precisar: identificar as funções, achar os pontos de interseção e montar o integral definido.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo x^2 = 2 - x. Isso dá a equação
x^2 + x - 2 = 0 cuja solução é x = 1 e x = -2.

Passo 3

Para cada x em [-2,1], a curva superior é y = 2 - x e a inferior é y = x^2. Assim, a área é dada por
A = integral-2^1l((2 - x) - x^2r),dx

Passo 4

Calcular a primitiva do integrando:
integral(2 - x - x^2),dx = 2x - x^22 - x^33 + C

Passo 5

Avaliar a primitiva nos limites x=-2 e x=1:
Para x=1: 2(1) - tfrac1^22 - tfrac1^33 = 2 - tfrac12 - tfrac13 = tfrac76.
Para x=-2: 2(-2) - tfrac(-2)^22 - tfrac(-2)^33 = -4 - 2 + tfrac83 = -tfrac103.
Subtraindo: A = tfrac76 - (-tfrac103) = tfrac76 + tfrac206 = tfrac276 = tfrac92.

Resposta

tfrac92

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