Encontre a soma da série dada ou mostre que a série diverge:
Passo 1
O enunciado dá a soma da série
e pede para “encontrar a soma” ou mostrar que a série diverge. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O índice de soma vai de
até . - Cada termo da série é
. - A tarefa é decidir se a soma converge e, se convergente, calcular seu valor; caso contrário, justificar a divergência.
Passo 2
Observação sobre
. Vamos entender o fator
para inteiros
. Conhecimento básico:
,
,
e assim por diante — a função cosseno em múltiplos inteiros de
alterna entre
e
. Portanto, para inteiro
vale
Isto é simples de ver também pela fórmula de Euler
, mas a observação direta dos valores serve bem.
Passo 3
Substituindo
no termo geral da série, obtemos
Aqui expliquei o passo:
; multiplicando por
dá
.
Passo 4
Reconhecimento do tipo da série. A série passa a ser
ou seja, é uma série geométrica com razão
. Lembrete didático sobre séries geométricas: uma série geométrica na forma
converge se, e somente se,
. Quando converge, a soma é
onde
é o primeiro termo e
é a razão. Para a série começando em
, a soma (se convergente) seria
quando
é o termo para
, ou mais diretamente
se o primeiro termo for
.
Passo 5
Aplicando o critério da série geométrica ao nosso caso: a razão é
Calculamos o módulo da razão:
Como
, temos
, portanto
Passo 6
Conseqüência do passo anterior: se
então a série geométrica não converge. Um argumento simples e fundamental (teste necessário para convergência): para que uma série
converja é necessário que o termo geral
tenda a zero quando
. No nosso caso o termo geral é
e seu módulo é
. Como
, temos
logo
não é zero (nem sequer existe como número finito). Portanto a série não pode convergir.
Passo 7
Conclusão final: a série diverge, pois seus termos não tendem a zero e a razão da geométrica tem módulo maior que
. (Respire fundo — séries com razão maior que 1 crescem rápido e não tem como somar.)
Resposta
A série diverge.