Encontre a soma da série dada ou mostre que a série diverge:
\sum_{k=1}^{\infty} \pi^{k / 2} \cos (k \pi)

Passo 1

O enunciado dá a soma da série
\sum_{k=1}^{\infty} \pi^{k/2}\cos(k\pi)
e pede para “encontrar a soma” ou mostrar que a série diverge. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O índice de soma vai de k=1 até k\to\infty.
  • Cada termo da série é \pi^{k/2}\cos(k\pi).
  • A tarefa é decidir se a soma converge e, se convergente, calcular seu valor; caso contrário, justificar a divergência.

Passo 2

Observação sobre \cos(k\pi). Vamos entender o fator \cos(k\pi) para inteiros k. Conhecimento básico: \cos(\pi)=-1, \cos(2\pi)=1, \cos(3\pi)=-1 e assim por diante — a função cosseno em múltiplos inteiros de \pi alterna entre 1 e -1. Portanto, para inteiro k vale
\cos(k\pi)=(-1)^k.
Isto é simples de ver também pela fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta, mas a observação direta dos valores serve bem.

Passo 3

Substituindo \cos(k\pi)=(-1)^k no termo geral da série, obtemos
\pi^{k/2}\cos(k\pi)=\pi^{k/2}(-1)^k =\bigl((-1)\sqrt{\pi}\bigr)^k.
Aqui expliquei o passo: \pi^{k/2}=(\sqrt{\pi})^k; multiplicando por (-1)^k \bigl(-\sqrt{\pi}\bigr)^k.

Passo 4

Reconhecimento do tipo da série. A série passa a ser
\sum_{k=1}^{\infty} \bigl(-\sqrt{\pi}\bigr)^k,
ou seja, é uma série geométrica com razão r=-\sqrt{\pi}. Lembrete didático sobre séries geométricas: uma série geométrica na forma
\sum_{k=0}^{\infty} ar^k
converge se, e somente se, |r|<1. Quando converge, a soma é
\sum_{k=0}^{\infty} ar^k = \frac{a}{1-r},
onde a é o primeiro termo e r é a razão. Para a série começando em k=1, a soma (se convergente) seria \dfrac{ar}{1-r} quando a é o termo para k=0, ou mais diretamente \sum_{k=1}^{\infty} r^k=\dfrac{r}{1-r} se o primeiro termo for r^1.

Passo 5

Aplicando o critério da série geométrica ao nosso caso: a razão é
r=-\sqrt{\pi}.
Calculamos o módulo da razão:
|r|=\sqrt{\pi}.
Como \pi\approx 3{,}14159, temos \sqrt{\pi}\approx 1{,}772, portanto
|r|=\sqrt{\pi}>1.

Passo 6

Conseqüência do passo anterior: se |r|>1 então a série geométrica não converge. Um argumento simples e fundamental (teste necessário para convergência): para que uma série \sum_{k=1}^\infty a_k converja é necessário que o termo geral a_k tenda a zero quando k\to\infty. No nosso caso o termo geral é a_k=\bigl(-\sqrt{\pi}\bigr)^k e seu módulo é |a_k|=(\sqrt{\pi})^k. Como \sqrt{\pi}>1, temos
\lim_{k\to\infty} |a_k| = \lim_{k\to\infty} (\sqrt{\pi})^k = +\infty,
logo \lim_{k\to\infty} a_k não é zero (nem sequer existe como número finito). Portanto a série não pode convergir.

Passo 7

Conclusão final: a série diverge, pois seus termos não tendem a zero e a razão da geométrica tem módulo maior que 1. (Respire fundo — séries com razão maior que 1 crescem rápido e não tem como somar.)

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados