Encontre a soma da série dada ou mostre que a série diverge:
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-5)^{k}}{8^{2 k}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma da série ou mostrar que ela diverge. A série dada é
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-5)^{k}}{8^{2 k}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O somatório começa em k=2 e vai até infinito.
  • O termo geral é \dfrac{(-5)^{k}}{8^{2k}}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: simplificar a forma do termo geral para ver se é uma série conhecida. Note que 8^{2k}=(8^2)^k. Portanto,
\frac{(-5)^{k}}{8^{2k}}=\frac{(-5)^{k}}{64^{k}}=\left(\frac{-5}{64}\right)^{k}.
Ou seja, o termo geral é exatamente \left(\dfrac{-5}{64}\right)^{k}.

Passo 3

Agora vamos identificar o tipo da série. Uma série da forma \sum_{k=N}^{\infty} r^{k} é uma série geométrica com razão r. Aqui temos r=\dfrac{-5}{64}. Lembrete importante (mini-aula): a série geométrica infinita padrão é
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}.
Se |r|<1, essa série converge e sua soma é
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r}.
Se |r|\ge 1, a série diverge. Essa fórmula pode ser deduzida multiplicando a soma por 1-r e cancelando termos (é um truquezinho clássico).

Passo 4

Aplicando o critério de convergência: calculemos o valor absoluto da razão
\left|r\right|=\left|\frac{-5}{64}\right|=\frac{5}{64}.
Como \dfrac{5}{64}<1, a série geométrica converge. Então a série não diverge — ela converge.

Passo 5

Agora vamos calcular a soma. Já sabemos a soma da geométrica que começa em k=0:
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r}.
Mas a nossa soma começa em k=2. Podemos escrever
\sum_{k=2}^{\infty} r^{k}=\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}-r^{0}-r^{1}=\frac{1}{1-r}-1-r.
Fazendo a conta algébrica para simplificar isso resulta em
\frac{1}{1-r}-1-r=\frac{1-(1-r)(1+r)}{1-r}=\frac{r^{2}}{1-r}.
Portanto, para qualquer razão r com |r|<1,
\sum_{k=2}^{\infty} r^{k}=\frac{r^{2}}{1-r}.

Passo 6

Substituímos r=\dfrac{-5}{64} na fórmula \dfrac{r^{2}}{1-r}. Primeiro calculamos r^{2}:
r^{2}=\left(\frac{-5}{64}\right)^{2}=\frac{25}{4096}.
Depois calculamos 1-r:
1-r=1-\left(-\frac{5}{64}\right)=1+\frac{5}{64}=\frac{64+5}{64}=\frac{69}{64}.
Agora a soma é
\frac{r^{2}}{1-r}=\frac{\dfrac{25}{4096}}{\dfrac{69}{64}}=\frac{25}{4096}\cdot\frac{64}{69}.
Simplificando: 4096=64\cdot 64, então um fator 64 cancela, sobrando
\frac{25}{64\cdot 69}=\frac{25}{4416}.

Passo 7

Conclusão e interpretação final: a série converge porque é geométrica com razão \dfrac{-5}{64} de módulo menor que 1, e sua soma foi calculada passo a passo como \dfrac{25}{4416}. Vai dar tudo certo na prova — respira fundo e revise esses passos curtos para decorar o método!

Resposta

\dfrac{25}{4416}

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