Encontre a soma da série dada ou mostre que a série diverge:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a soma da série ou mostrar que a série diverge. A série dada é
Informações relevantes fornecidas:
para cada
inteiro não-negativo, o
-ésimo termo da série é
.
O somatório vai de
até
.
Não há outras condições adicionais no enunciado.
Passo 2
Reconhecer o tipo de série olhando para os termos. Observe que os termos sucessivos obedecem a um padrão multiplicativo: dividi-se por
a cada incremento de
. Vamos calcular o primeiro termo e a razão entre termos consecutivos:
Primeiro termo (quando
):
Portanto, a série é uma série geométrica com primeiro termo
e razão
.
Passo 3
Lembrando a teoria essencial (explicação didática): uma série geométrica infinita de termos
tem soma finita se e somente se
. Nesse caso a soma é dada por
Por que isso vale? Vou derivar passo a passo de forma bem clara. Considere a soma parcial de ordem
:
Multiplicando ambos os lados por
temos
Subtraindo essas duas igualdades (
) obtemos
Isolando
,
Se
, então
quando
. Tomando limite
em
,
Se
, a soma parcial não converge a um valor finito e a série diverge.
Passo 4
Aplicar a condição de convergência ao nosso caso. Aqui
e
. Logo a série converge e podemos usar a fórmula da soma:
Passo 5
Substituir os valores de
e
na fórmula. Temos
e
, portanto
Calcule o denominador:
Então
Passo 6
Interpretação final e forma decimal (opcional para intuir o resultado):
é aproximadamente
, ou seja, um pouco maior que
. Isso faz sentido: o primeiro termo é
e os termos seguintes somam uma pequena quantidade porque a razão é muito pequena (
).