Encontre a soma da série dada ou mostre que a série diverge:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{5}{10^{3 k}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma da série ou mostrar que a série diverge. A série dada é
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{5}{10^{3k}}.
Informações relevantes fornecidas:
\displaystyle para cada k inteiro não-negativo, o k-ésimo termo da série é \displaystyle \frac{5}{10^{3k}}.
\displaystyle O somatório vai de k=0 até k\to\infty.
\displaystyle Não há outras condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Reconhecer o tipo de série olhando para os termos. Observe que os termos sucessivos obedecem a um padrão multiplicativo: dividi-se por 10^{3} a cada incremento de k. Vamos calcular o primeiro termo e a razão entre termos consecutivos:
\displaystyle Primeiro termo (quando k=0):
a=\frac{5}{10^{0}}=\frac{5}{1}=5.
\displaystyle Razão r entre o termo de índice k+1 e o termo de índice k:
r=\frac{\frac{5}{10^{3(k+1)}}}{\frac{5}{10^{3k}}}=\frac{1}{10^{3}}=\frac{1}{1000}.
Portanto, a série é uma série geométrica com primeiro termo \displaystyle a=5 e razão \displaystyle r=\frac{1}{1000}.

Passo 3

Lembrando a teoria essencial (explicação didática): uma série geométrica infinita de termos a, ar, ar^{2},\dots tem soma finita se e somente se \displaystyle |r|<1. Nesse caso a soma é dada por
S=\frac{a}{1-r}.
Por que isso vale? Vou derivar passo a passo de forma bem clara. Considere a soma parcial de ordem n:
S_n = a + ar + ar^{2} + \cdots + ar^{n}.
Multiplicando ambos os lados por \displaystyle r temos
rS_n = ar + ar^{2} + \cdots + ar^{n} + ar^{n+1}.
Subtraindo essas duas igualdades ( S_n - rS_n ) obtemos
(1-r)S_n = a - ar^{n+1}.
Isolando S_n,
S_n = \frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}.
Se \displaystyle |r|<1, então \displaystyle r^{n+1}\to 0 quando n\to\infty. Tomando limite n\to\infty em S_n,
S=\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{a}{1-r}.
Se \displaystyle |r|\ge 1, a soma parcial não converge a um valor finito e a série diverge.

Passo 4

Aplicar a condição de convergência ao nosso caso. Aqui \displaystyle r=\frac{1}{1000} e \displaystyle |r|=\frac{1}{1000}<1. Logo a série converge e podemos usar a fórmula da soma:
S=\frac{a}{1-r}.

Passo 5

Substituir os valores de \displaystyle a e \displaystyle r na fórmula. Temos \displaystyle a=5 e \displaystyle r=\frac{1}{1000}, portanto
S=\frac{5}{1-\frac{1}{1000}}.
Calcule o denominador:
1-\frac{1}{1000}=\frac{1000}{1000}-\frac{1}{1000}=\frac{999}{1000}.
Então
S=\frac{5}{\frac{999}{1000}}=5\cdot\frac{1000}{999}=\frac{5000}{999}.

Passo 6

Interpretação final e forma decimal (opcional para intuir o resultado): \displaystyle \frac{5000}{999} é aproximadamente 5{,}005005005\ldots, ou seja, um pouco maior que 5. Isso faz sentido: o primeiro termo é 5 e os termos seguintes somam uma pequena quantidade porque a razão é muito pequena ( \displaystyle \frac{1}{1000}).

Resposta

\displaystyle \frac{5000}{999}

Exercícios relacionados