Calcule a integral.
\iiint_{B} z d x d y d z, onde
B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\right\} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B} z\,dx\,dy\,dz,
onde
B = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : 1 \le x^2 + y^2 \le 4\}.
O conteúdo principal é cálculo de integrais em coordenadas cilíndricas e uso de simetria para funções ímpares.

Passo 2

Vamos passar para coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com Jacobiano r. O domínio fica
0 \le \theta \le 2\pi,\quad 1 \le r \le 2,\quad z\in(-\infty,\infty).
Logo a integral é
\iiint_{B} z\,dx\,dy\,dz = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{2}\int_{z=-\infty}^{\infty} z\;r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Dentro dessa expressão, a integral em z é
\int_{-\infty}^{\infty} z\,dz,
que, por ser uma função ímpar integrada sobre um intervalo simétrico (-\infty,\infty), vale zero.

Passo 4

Como a parte em z anula toda a integral, concluímos que o valor do triplo integral é zero.

Resposta

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