Encontre a soma da série dada.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n-1}} .

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n-1}}.
Este é um caso de série geométrica. Para resolver, vamos identificar o primeiro termo e a razão e então aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Na forma padrão de série geométrica, cada termo é dado por
a_n = a_1\cdot r^{\,n-1}.
Aqui podemos reescrever
\frac{2}{5^{n-1}} = 2\cdot\Bigl(\frac{1}{5}\Bigr)^{n-1},
logo o primeiro termo é a_1 = 2 e a razão é r = \tfrac{1}{5}.

Passo 3

Para |r|<1, a soma da série geométrica infinita é
S = \frac{a_1}{1 - r}.
Substituindo a_1 = 2 e r = \tfrac{1}{5}, temos
S = \frac{2}{1 - \tfrac{1}{5}} = \frac{2}{\tfrac{4}{5}} = 2 \times \frac{5}{4} = \frac{5}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}

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