Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto B dado (esboce tal conjunto).
B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4} \leq 1\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área do conjunto
B = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} \le 1\bigr\}
usando integral dupla. O conteúdo envolvido é cálculo de área por meio de transformações de coordenadas em integrais duplas.

Passo 2

O conjunto B é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior a=3 (eixo x) e semi-eixo menor b=2 (eixo y). O esboço é uma curva fechada passando por (\pm3,0) e (0,\pm2).

Passo 3

A área de B pode ser escrita como
\mathrm{Área}(B) \;=\; \iint_{B} dA.Á
Para simplificar, fazemos a mudança de variáveis
x = 3u,\quad y = 2v,
de modo que o domínio em (u,v) vira o disco unitário
\;D=\{(u,v)\mid u^2+v^2\le1\}.

Passo 4

O jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y) é
J = \det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}3 & 0\\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 6.
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\iint_{B} dA \;=\; \iint_{D} 6\,du\,dv \;=\; 6\;\iint_{D} du\,dv.]

Passo 5

O domínio D é o disco de raio 1, cuja área é \pi. Ou seja,
\iint_{D} du\,dv = \pi.

Passo 6

Substituindo, obtemos
\mathrm{Área}(B) = 6 \times \pi = 6\pi.Á

Resposta

\mathrm{Área}(B)=6\piÁ

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