Encontre a soma da série dada.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}.

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.
O conteúdo envolve séries telescópicas, usando frações parciais para decompor o termo geral.

Passo 2

Aplicamos a decomposição em frações parciais: buscamos constantes A e B tais que
\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}.
Igualando numeradores, obtemos A=\tfrac12 e B=-\tfrac12, logo
\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\Bigr).

Passo 3

Escrevemos a soma parcial S_N=\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}. Substituindo a forma telescópica, temos
S_N = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \Bigl(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\Bigr).
Explicite os primeiros termos:
\Bigl(\tfrac{1}{1}-\tfrac{1}{3}\Bigr) +\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}\Bigr) +\cdots +\Bigl(\tfrac{1}{2N-1}-\tfrac{1}{2N+1}\Bigr).

Passo 4

Observando o cancelamento telescópico, só permanecem os termos não cancelados no início e no fim:
S_N = \frac{1}{2}\Bigl(1 - \frac{1}{2N+1}\Bigr).

Passo 5

Fazendo N\to\infty, o termo 1/(2N+1) tende a zero, logo
S = \lim_{N\to\infty} S_N = \frac{1}{2}.

Resposta

A soma da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} é \frac{1}{2}.

Exercícios relacionados