Encontre a soma da série dada.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}} .

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}}.
O conteúdo é série geométrica infinita e vamos usar a fórmula
S = \frac{a_{1}}{1 - r},
onde a_{1} é o primeiro termo e r é a razão.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral para identificar melhor a razão. Note que
\frac{2^{n-1}}{3^{n}} = \frac{2^n}{2\cdot 3^n} = \frac{1}{2}\,\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{n}.

Passo 3

O primeiro termo ocorre em n=1:
a_{1} = \frac{1}{2}\,\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{1} = \frac{1}{3}.
A razão da progressão geométrica é
r = \frac{2}{3}.

Passo 4

Como \lvert r\rvert<1, a soma converge e vale
S = \frac{a_{1}}{1 - r} = \frac{\tfrac{1}{3}}{1 - \tfrac{2}{3}} = \frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{3}} = 1.

Resposta

A soma da série é 1.

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