Encontre a soma da série:
) \sum_{n=0}{\infty}(-1){n} \frac{\pi^{2 n}}{4^{2 n+1}(2 n+1)!}\
) \sum_{n=0}{\infty}(-1){n} \frac{\pi^{2 n}}{4^{2 n+1}(2 n+1)!}\
Passo 1
O enunciado pede a soma da série
O conteúdo aqui é soma de série de potências e vamos relacionar com a expansão em série de Taylor de
.
Passo 2
Reescrevendo o fator
temos
logo
Passo 3
Note que
. Então a soma vira
Aí reconhecemos a expansão
Passo 4
Basta usar
na identidade acima:
Portanto a série original vale
Passo 5
Como
, concluímos que a soma é