Encontre a soma da série:
) \sum_{n=0}{\infty}(-1){n} \frac{\pi^{2 n}}{4^{2 n+1}(2 n+1)!}\

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\pi^{2n}}{4^{2n+1}(2n+1)!}.
O conteúdo aqui é soma de série de potências e vamos relacionar com a expansão em série de Taylor de \sin x.

Passo 2

Reescrevendo o fator 4^{2n+1} temos
4^{2n+1}=4\cdot4^{2n}=4\cdot16^n,
logo
\frac{1}{4^{2n+1}} =\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{16^n} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\pi^{2n}}{4^{2n+1}(2n+1)!} =\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{\pi^{2n}}{16^n\,(2n+1)!}.

Passo 3

Note que \pi^{2n}/16^n=(\pi/4)^{2n}. Então a soma vira
\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(\pi/4)^{2n}}{(2n+1)!}.
Aí reconhecemos a expansão
\sin x = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sin x}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}.

Passo 4

Basta usar x=\pi/4 na identidade acima:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(\pi/4)^{2n}}{(2n+1)!} =\frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4} =\frac{4\sin(\pi/4)}{\pi}.
Portanto a série original vale
\frac{1}{4}\cdot\frac{4\sin(\pi/4)}{\pi} =\frac{\sin(\pi/4)}{\pi}.

Passo 5

Como \sin(\pi/4)=\sqrt{2}/2, concluímos que a soma é
\frac{\sqrt{2}/2}{\pi} =\frac{\sqrt{2}}{2\pi}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2\pi}

Exercícios relacionados