Resolva o sistema:
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=3 x-y \\\ \dot{y}=x+y\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de equações diferenciais
\begin{cases} \dot{x} = 3x - y,\\\ \dot{y} = x + y, \end{cases}
ou seja, \dot{X}=AX com X=(x,y)^T e
A = \begin{pmatrix}3 & -1 \\[6pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo é resolver sistemas lineares usando autovalores e autovetores (e, se necessário, vetores generalizados).]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}3-\lambda & -1 \\[3pt] 1 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)(1-\lambda) - (-1)\cdot1 = \lambda^2 -4\lambda +4.
Assim,
\lambda^2 -4\lambda +4 = (\lambda - 2)^2 = 0
é raiz dupla, logo o único autovalor é \lambda=2 de multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Buscamos o(s) autovetor(es) em (A-2I)v=0:
A-2I = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[3pt] 1 & -1\end{pmatrix},
daí v_1 satisfaz v_{1,1}-v_{1,2}=0, escolhemos
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Como só há uma dimensão de autovetores, precisamos de um vetor generalizado w tal que
(A-2I)w = v_1.
Resolvendo \begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w_1\w_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} w_1-w_2=1. Uma escolha simples é
w = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para valor próprio duplo e apenas um autovetor, a solução geral é
X(t) = C_1 e^{2t}v_1 \;+\; C_2 e^{2t}\bigl(tv_1 + w\bigr).
Substituindo v_1=(1,1)^T e w=(1,0)^T, escrevemos
\begin{pmatrix}x(t)\\[3pt]y(t)\end{pmatrix} = e^{2t}\! \Bigl[C_1\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_2\bigl(t\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}\bigr)\Bigr] = e^{2t}\begin{pmatrix} C_1 + C_2\,(t+1)\\[4pt] C_1 + C_2\,t \end{pmatrix}.]

Resposta

x(t) = e^{2t}\bigl(C_1 + C_2\,(t+1)\bigr), \quad y(t) = e^{2t}\bigl(C_1 + C_2\,t\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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