Resolva o sistema:
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=x-y \\\ \dot{y}=-x+y\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de EDOs
\begin{cases} \dot{x} = x - y,\\\ \dot{y} = -x + y. \end{cases}
O conteúdo principal é a teoria de sistemas lineares com coeficientes constantes, que podemos resolver por análise de autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial \dot{\mathbf{X}} = A\,\mathbf{X}, onde
\mathbf{X} = \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Para encontrar os autovalores \lambda, resolvemos
\det(A - \lambda I) = 0.
Calculando,
\det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & -1\\\\ -1 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)^2 - (-1)(-1) =\lambda^2 - 2\lambda = \lambda(\lambda-2)=0,
logo \lambda_1=0 e \lambda_2=2.

Passo 4

Agora achamos os autovetores associados.
Para \lambda_1=0, resolvemos (A-0I)v=0:
\begin{pmatrix}1 & -1\\\\ -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = 0 \implies v_1 = v_2.
Tomamos v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=2, resolvemos (A-2I)v=0:
\begin{pmatrix}-1 & -1\\\\ -1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} = 0 \implies v_1 = -v_2.
Tomamos v^{(2)} = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 5

A solução geral é combinação linear dos modos exponenciais:
\mathbf{X}(t) = C_1\,v^{(1)}\,e^{\lambda_1 t} + C_2\,v^{(2)}\,e^{\lambda_2 t} = C_1\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} + C_2\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}e^{2t}.
Dessa forma,
x(t) = C_1 + C_2\,e^{2t}, \quad y(t) = C_1 - C_2\,e^{2t},
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

x(t) = C_1 + C_2\,e^{2t}, \quad y(t) = C_1 - C_2\,e^{2t},
com C_1,C_2\in\mathbb{R}.

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