Encontre a soma da série
Passo 1
A questão pede para encontrar a soma da série infinita
. O conteúdo envolve soma de uma série telescópica (de decomposição em frações parciais) e soma de uma série geométrica. Vamos usar essas duas ferramentas.
Passo 2
Primeiro, considere a série
. Note que podemos decompor cada termo em frações parciais:
Isso gera uma soma telescópica. Se somarmos de
e, ao expandir, quase todos os termos se cancelam, sobrando apenas
Fazendo
Passo 3
Agora, considere a série
. Fazendo a troca de índice
, reescrevemos como
Como
Passo 4
Finalmente, a série original é
. Subtraindo e igualando denominadores:
Resposta
-\nfrac{1}{36}