Encontre a soma da série
sumk=2^infty[1k^2-1-710^k-1]

Passo 1

A questão pede para encontrar a soma da série infinita sumk=2^inftyl[tfrac1k^2-1-tfrac710^k-1r]. O conteúdo envolve soma de uma série telescópica (de decomposição em frações parciais) e soma de uma série geométrica. Vamos usar essas duas ferramentas.

Passo 2

Primeiro, considere a série S1=sumk=2^inftytfrac1k^2-1. Note que podemos decompor cada termo em frações parciais:
1k^2-1=12l(1k-1-1k+1r)
Isso gera uma soma telescópica. Se somarmos de k=2 até N, temos
sumk=2^N1k^2-1=12sumk=2^Nl(1k-1-1k+1r)
e, ao expandir, quase todos os termos se cancelam, sobrando apenas
12l(1+tfrac12-tfrac1N-tfrac1N+1r)
Fazendo Ntoinfty, os termos 1/N e 1/(N+1) vão a zero, ficando
S1=sumk=2^infty1k^2-1=12l(1+tfrac12r)=34§

Passo 3

Agora, considere a série S2=sumk=2^inftytfrac710^k-1. Fazendo a troca de índice n=k-1, reescrevemos como
S2=7sumn=1^infty110^n§
Como sumn=1^infty1/10^n é uma série geométrica de razão 1/10 e soma 1/(1-1/10)-1=1/9, teremos
S2=7cdot19=79§

Passo 4

Finalmente, a série original é S=S1-S2=tfrac34-tfrac79. Subtraindo e igualando denominadores:
S=2736-2836=-136§

Resposta

-\nfrac{1}{36}

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