Encontre a soma da série:
sumn=0^infty(-1)^n pi^2 n4^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita abaixo, que envolve potências e fatoriais. O conteúdo principal é séries de potências e vamos precisar usar a expansão em série de Taylor (Maclaurin) da função seno:
sumn=0^infty(-1)^n pi^2 n4^2 n+1(2 n+1)!

Passo 2

Primeiro, note que
4^2n+1 = 4 cdot 4^2n = 4 cdot (16)^n = 4 cdot (4^2)^n = 4 cdot 4^2n
Logo podemos escrever a série como
14 sumn=0^infty(-1)^n pi^2n4^2n(2n+1)!

Passo 3

Em seguida, observe que
pi^2n4^2n = l(pi4r)^2n
Portanto a série fica
14 sumn=0^infty(-1)^n l(pi4r)^2n(2n+1)!

Passo 4

Agora, recorde a expansão de Maclaurin do seno:
sin x = sumn=0^infty(-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Se dividirmos essa série por x, obtemos
sin xx = sumn=0^infty(-1)^n x^2n(2n+1)!

Passo 5

Comparando com a nossa soma, vemos que basta tomar x = pi4. Logo,
sumn=0^infty(-1)^n l(pi4r)^2n(2n+1)! = sinl(pi4r)pi4 = raiz2/2pi/4 = 2raiz2pi
Multiplicando o fator tfrac14 que estava fora da série, temos a soma final.

Passo 6

Assim, a soma da série original é

Resposta

raiz22pi

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