Utilizando a expressão em série de potências das funções envolvidas, calcule os seguintes limites:
lim x 0 x-sen(x)x^3

Passo 1

A gente precisa achar o limite limx to 0 x - sin(x)x^3 usando séries de potências (Maclaurin). Vamos usar a expansão de sin(x) em torno de zero para isso.

Passo 2

A série de Maclaurin de sin(x) em torno de zero é dada por:
sin(x) = x - x^33! + x^55! - cdots
No numerador temos x - sin(x). Substituindo a série de sin(x):
x - sin(x) = x - l(x - x^36 + x^5120 - cdotsr)
Isso simplifica para:
x - sin(x) = x^36 - x^5120 + cdots

Passo 3

Agora dividimos essa expressão por x^3:
x - sin(x)x^3 = x^36 - x^5120 + cdotsx^3 = 16 - x^2120 + cdots

Passo 4

Por fim, ao fazer x to 0 na série resultante, todos os termos com x somem e fica apenas tfrac16.

Resposta

16

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