Encontre o subespaço gerado pelos vetores dados.
W=[f1(x)=x, f2(x)=1-x, f3(x)=x^2 ; f4(x)=1+x^3] no espaço vetorial V=f: R R: f é uma função }) das funções.
DICA: como todas estas funções são polinomiais então qualquer combinação entre elas será uma nova função polinomial e ainda, como o maior grau que aparece é na f4 que tem grau 3, então qualquer combinação destas funções será do tipo
a 1+b x+c x^2+d x^3
o problema é saber para quais valores de a, b, c e d a combinação funcionará. Então devemos a 1+b x+c x^2+d x^3= a1(x)+a2(1-x)+a3(x^2)+a4(1+x^3) que fornece o sistema ca=a2+a4 b=a1-a2 c=a3 d=a4. Escalone e descubra a relação entre a, b, c e d.

Passo 1

O espaço V é o de todas as funções reais, mas as fi são polinômios de grau até 3. Queremos
W = Span,f1,f2,f3,f4
com
f1(x)=x,;f2(x)=1-x,;f3(x)=x^2,;f4(x)=1+x^3
Como qualquer combinação linear terá grau no máximo 3, já sabemos que
Wsubseteq P3=,a+bx+cx^2+dx^3 : a,b,c,din R
Falta mostrar que todo polinômio de grau <=3 está em W.

Passo 2

Considere uma combinação genérica
alpha f1(x)+beta f2(x)+gamma f3(x)+de<a f4(x) =alpha x+beta(1-x)+gamma x^2+de<a(1+x^3)
Agrupando termos em potências de x, obtemos
beta+de<a ;+;(alpha-beta),x;+;gamma,x^2;+;de<a,x^3
Logo se definirmos os coeficientes de
a+bx+cx^2+dx^3
por
a=beta+de<a, b=alpha-beta, c=gamma, d=de<a,
essa combinação gera exatamente a+bx+cx^2+dx^3.

Passo 3

Do sistema
a=beta+de<a, b=alpha-beta, c=gamma, d=de<a,
vemos que basta escolher
de<a=d, gamma=c, beta=a-d, alpha=b+beta=b+(a-d)
Como a,b,c,d são livres em R, sempre encontramos alpha,beta,gamma,de<a que produzem a+bx+cx^2+dx^3.

Passo 4

Concluímos que qualquer polinômio de grau <=3 está em W, e portanto
W = ,a+bx+cx^2+dx^3 : a,b,c,din R = P3

Resposta

W = ,a + b x + c x^2 + d x^3 : a,b,c,din R

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