Encontre o subespaço gerado pelos vetores dados.
W=[v1=[ccc1 & -1 & 3 0 & 0 & 1], v2=[lll0 & 0 & 1 0 & 0 & 0], v3=[lll0 & 0 & 0 0 & 1 & 2], v4=[lll0 & 1 & 0 0 & 0 & 0]v5=[lll1 & 0 & 0 0 & 0 & 1], v6=[lll0 & 1 & 0 1 & 0 & 0]] no espaço vetorial M2 times 3(R) das matrizes 2 times 3

Passo 1

O enunciado pede o subespaço Wsubset M2times3(R) gerado pelos vetores
v1=1 & -1 & 3 0 & 0 & 1,; v2=0 & 0 & 1 0 & 0 & 0,; v3=0 & 0 & 0 0 & 1 & 2,
v4=0 & 1 & 0 0 & 0 & 0,; v5=1 & 0 & 0 0 & 0 & 1,; v6=0 & 1 & 0 1 & 0 & 0
O objetivo é encontrar uma base de W e, se possível, uma descrição por equações lineares.

Passo 2

Representamos cada matriz como vetor em R^6 na ordem
(a11,a12,a13,a21,a22,a23):
v1mapsto(1,-1,3,0,0,1),; v2mapsto(0,0,1,0,0,0),; v3mapsto(0,0,0,0,1,2),
v4mapsto(0,1,0,0,0,0),; v5mapsto(1,0,0,0,0,1),; v6mapsto(0,1,0,1,0,0)

Passo 3

Procuramos dependências lineares. Observe que
v1=(1,-1,3,0,0,1)=3,(0,0,1,0,0,0);+;(1,0,0,0,0,1);-;(0,1,0,0,0,0) =3v2+v5-v4
Logo v1 é combinação de v2,v4,v5 e pode ser eliminado da geração.

Passo 4

Verificamos que os cinco vetores
;v2,v3,v4,v5,v6;
são linearmente independentes (pivôs nas colunas 3,5,2,1 e 4, respectivamente), de modo que
,v2,;v3,;v4,;v5,;v6
é uma base de W. Assim dim W=5.

Passo 5

Para descrever W por equações, achamos um vetor normal
(n1,n2,n3,n4,n5,n6) ortogonal a cada base. Das condições
ncdot v2=n3=0,; ncdot v4=n2=0,; ncdot v6=n2+n4=0implies n4=0,
ncdot v5=n1+n6=0,; ncdot v3=n5+2n6=0
segue-se n=(1,0,0,0,2,-1) a escalar. A equação do subespaço é, então,
n1,a11+n5,a22+n6,a23 = a11+2,a22-a23=0

Resposta

Uma base de W é
l,v2,;v3,;v4,;v5,;v6r, dim W=5,
e
W=l,(aij)in M2times3(R);|;a11+2,a22-a23=0r

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