Encontre o subespaço gerado pelos vetores dados.
no espaço vetorial
M2 times 3(R) das matrizes
2 times 3
Passo 1
O enunciado pede o subespaço
Wsubset M2times3(R) gerado pelos vetores
O objetivo é encontrar uma base de
W e, se possível, uma descrição por equações lineares.
Passo 2
Representamos cada matriz como vetor em
R^6 na ordem
(a11,a12,a13,a21,a22,a23) :
Passo 3
Procuramos dependências lineares. Observe que
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v1 é combinação de
v2,v4,v5 e pode ser eliminado da geração.
Passo 4
Verificamos que os cinco vetores
;v2,v3,v4,v5,v6;
são linearmente independentes (pivôs nas colunas 3,5,2,1 e 4, respectivamente), de modo que
são linearmente independentes (pivôs nas colunas 3,5,2,1 e 4, respectivamente), de modo que
é uma base de
W . Assim
dim W=5 .
Passo 5
Para descrever
W por equações, achamos um vetor normal
(n1,n2,n3,n4,n5,n6) ortogonal a cada base. Das condições
segue-se
n=(1,0,0,0,2,-1) a escalar. A equação do subespaço é, então,
Resposta
Uma base de
W é
e