Suponhamos que u1, cdots, ur é uma base ortonormal para um subespaço W de V. Seja E: V V a transformação linear dada por
E(v)=lang<= v, u1rang<= u1+cdots+lang<= v, urrang<= ur
Mostre que E é a projeção ortogonal de V em W.

Passo 1

O enunciado nos dá um subespaço Wsubset V com base ortonormal u1,dots,ur e define uma transformação
E(v)=lang<= v,u1rang<= u1+cdots+lang<= v,urrang<= ur
O objetivo é mostrar que E coincide com a projeção ortogonal de V em W, ou seja, que para todo vin V temos E(v)in W e v-E(v) é ortogonal a W.

Passo 2

Mostrar que E(v)in W para todo vin V. Como cada ui pertence a W e E(v) é combinação linear de u1,dots,ur, concluímos imediatamente que
E(v)in W

Passo 3

Mostrar que v-E(v) é ortogonal a qualquer vetor win W. Tomemos um win W, que pode ser escrito como
w=alpha1u1+cdots+alpharur
Então
lang<= v-E(v),wrang<= =lang<= v,wrang<=-lang<= E(v),wrang<= =llang<= v,sumialphai uirrang<= -llang<= sumjlang<= v,ujrang<= uj,sumialphai uirrang<=
Pela linearidade e ortonormalidade:
lang<= v,wrang<= =sumialphailang<= v,uirang<=, lang<= E(v),wrang<= =sumjlang<= v,ujrang<=alphaj,
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lang<= v-E(v),wrang<= =sumialphailang<= v,uirang<=-sumjalphajlang<= v,ujrang<==0
Portanto v-E(v)perp w, e como w era arbitrário em W, temos v-E(v)perp W.

Passo 4

Pela definição de projeção ortogonal, a transformação que manda cada v ao ponto E(v)in W tal que v-E(v)perp W é justamente a projeção ortogonal de V em W. Assim E satisfaz exatamente essa propriedade e, portanto, é a projeção ortogonal desejada.

Resposta

E é a projeção ortogonal de V em W.

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