Suponhamos que
é uma base ortonormal para um subespaço
de
. Seja
a transformação linear dada por
Mostre que
é a projeção ortogonal de
em
.
Passo 1
O enunciado nos dá um subespaço
com base ortonormal
e define uma transformação
O objetivo é mostrar que
coincide com a projeção ortogonal de
em
, ou seja, que para todo
temos
e
é ortogonal a
.
Passo 2
Mostrar que
para todo
. Como cada
pertence a
e
é combinação linear de
, concluímos imediatamente que
Passo 3
Mostrar que
é ortogonal a qualquer vetor
. Tomemos um
, que pode ser escrito como
Então
Pela linearidade e ortonormalidade:
logo
Portanto
, e como
era arbitrário em
, temos
.
Passo 4
Pela definição de projeção ortogonal, a transformação que manda cada
ao ponto
tal que
é justamente a projeção ortogonal de
em
. Assim
satisfaz exatamente essa propriedade e, portanto, é a projeção ortogonal desejada.