Encontre o subespaço gerado pelos vetores dados.
W=[v1=[ll3 & 0 0 & 0], v2=[cc2 & -1 1 & 0], v3=[ll0 & 1 0 & 1], v4=[ll5 & 0 1 & 1]] no espaço vetorial M2(R) das matrizes 2 times 2

Passo 1

O enunciado pede o subespaço
W=spanv1,v2,v3,v4
em M2(R), onde
v1=3&00&0, v2=2&-11&0, v3=0&10&1, v4=5&01&1
Para encontrar uma base de W vamos verificar quais desses vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Representamos cada como vetor de na ordem de coordenadas correspondendo às entradas da matriz :
Aplicando eliminação de Gauss para checar independência, obtemos posto . Isso mostra que exatamente três dos vetores são independentes e um deles é combinação dos outros.

Passo 3

Podemos escolher v1,v2,v3 como vetores independentes. De fato, para alpha,beta,gammainR
alpha v1+beta v2+gamma v3 =0 Longrightarrow alpha=beta=gamma=0
E verifica-se que
v4 =v1+v2+v3

Passo 4

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Em coordenadas de matriz:

Passo 5

Podemos caracterizar também como o conjunto de todas as matrizes
que satisfazem
pois comparando com vemos , e .

Resposta

Uma base de é
e

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