Encontre o subespaço gerado pelos vetores dados.
W=[(1,0,0,1), v2=(0,-1,-1,0), v3=(0,0,1,1), v4=(0,2,1,2)] no R^4

Passo 1

O enunciado pede para determinar o subespaço
W=llang<= v1,v2,v3,v4rrang<=
em R^4, onde
v1=(1,0,0,1), v2=(0,-1,-1,0), v3=(0,0,1,1), v4=(0,2,1,2)
O conteúdo envolvido é teoria de espaços gerados, base, dimensão e eliminação de Gauss para verificar independência linear.

Passo 2

Organizamos os vetores como linhas de uma matriz e aplicamos eliminação de Gauss para verificar quantos pivôs obtemos (que correspondem a vetores linearmente independentes):
M= 1 & 0 & 0 & 1 0 & -1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & 2
Já vemos pivô em col1 na linha 1 e em col2 na linha 2.

Passo 3

Eliminamos abaixo dos pivôs:
Linha4 Linha4 + 2cdot Linha2 ;Longrightarrow; 1 & 0 & 0 & 1 0 & -1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & -1 & 2
Agora temos pivô em col3 na linha 3. Eliminamos na linha 4:
Linha4 Linha4 + Linha3 ;Longrightarrow; 1 & 0 & 0 & 1 0 & -1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 3
Surgiu pivô em col4 na linha 4. No total há 4 pivôs.

Passo 4

Como obtivemos 4 pivôs em R^4, concluímos que os quatro vetores são linearmente independentes e geram todo R^4. Logo
W=R^4,
com dimensão dim W=4 e, por exemplo, v1,v2,v3,v4 é uma base de W.

Resposta

W=R^4, dim W=4, base dada por v1,v2,v3,v4.

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