Encontre o subespaço gerado pelos vetores dados.
W=[v1=(1,1,1), v2=(2,2,3), v3=(3,3,4)] no R^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o subespaço W gerado pelos vetores
v1=(1,1,1), v2=(2,2,3), v3=(3,3,4)
em R^3. Vamos usar os conceitos de combinação linear, dependência linear e base de um subespaço.

Passo 2

Verificamos se há relação de dependência entre os vetores. Calculamos
v3-v2 = (3,3,4) - (2,2,3) = (1,1,1) = v1
Isso mostra que
v3 = v1 + v2,
ou seja, v3 é combinação linear de v1 e v2, ficando redundante no conjunto gerador.

Passo 3

Logo
W = spanv1,v2
Para ver que v1 e v2 são independentes, note que não existe escalar k tal que
(2,2,3) = k,(1,1,1),
pois isso exigiria simultaneamente k=2 e k=3. Portanto v1,v2 é uma base de W e dim W = 2.

Passo 4

Um vetor genérico de W é
a,v1 + b,v2 = a,(1,1,1) + b,(2,2,3) = (a+2b,;a+2b,;a+3b)
Se definirmos x = a+2b e z = a+3b, obtemos
W = (x,x,z)mid x,zinR,
ou seja, o plano de R^3 definido pela equação x = y.

Resposta

O subespaço W é o plano
W = (x,x,z)mid x,zinR,
de dimensão 2. Uma base de W pode ser, por exemplo,
(1,1,1),(2,2,3)
ou ainda
(1,1,0),(0,0,1)

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