Encontre o subespaço gerado pelos vetores dados.
no
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o subespaço
gerado pelos vetores
em
. Vamos usar os conceitos de combinação linear, dependência linear e base de um subespaço.
Passo 2
Verificamos se há relação de dependência entre os vetores. Calculamos
Isso mostra que
ou seja,
é combinação linear de
e
, ficando redundante no conjunto gerador.
Passo 3
Logo
Para ver que
e
são independentes, note que não existe escalar
tal que
pois isso exigiria simultaneamente
e
. Portanto
é uma base de
e
.
Passo 4
Um vetor genérico de
é
Se definirmos
e
, obtemos
ou seja, o plano de
definido pela equação
.
Resposta
O subespaço
é o plano
de dimensão
. Uma base de
pode ser, por exemplo,
ou ainda