Encontre o subespaço gerado pelos vetores dados.
W=[v1=(1,0,1), v2=(-1,-1,-2), v3=(0,2,2)] no R^3. (identifique se é um plano ou uma reta)

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço
W=Spanv1,v2,v3 em R^3, onde
v1=(1,0,1), v2=(-1,-1,-2), v3=(0,2,2)
O objetivo é determinar a dimensão de W, encontrar uma base e identificar se é uma reta (dimensão 1) ou um plano (dimensão 2).

Passo 2

Mostramos que v3 é combinação linear de v1 e v2. Buscamos a,b tais que
a,v1+b,v2=v3
Isso dá o sistema
a - b = 0, -b = 2, a - 2b = 2
Da segunda equação -b=2 vem b=-2 e da primeira a=b=-2. Verifica-se que a terceira também se satisfaz, logo
v3 = -2,v1 -2,v2
Assim v3 é redundante e
W=Spanv1,v2

Passo 3

Verificamos que v1 e v2 são linearmente independentes. Se
c1v1+c2v2=0
então, compondo coordenadas,
c1-c2=0, -c2=0, c1-2c2=0
implica c2=0 e c1=0. Logo v1,v2 é base de W e dim W=2.

Passo 4

Como dim W=2 em R^3, W é um plano que passa pela origem. Podemos obter sua equação vetorial ou sua equação cartesiana. O vetor normal é
n = v1times v2 = (1,0,1)times(-1,-1,-2) = (1,1,-1),
de modo que a equação cartesiana é
x + y - z = 0

Resposta

W=(x,y,z)inR^3mid x+y-z=0,
que é um plano de dimensão 2. Uma base simples é
(1,0,1),,(-1,-1,-2)

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