Verifique se o conjunto de vetores dado é LI ou LD no espaço indicado.
f1(x)=x, f2(x)=1-x, f3(x)=x^2 e f4(x)=1+x^3 no espaço vetorial V=f: R R: f é uma função das funções

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
f1(x)=x, f2(x)=1-x, f3(x)=x^2, f4(x)=1+x^3
é linearmente independente (LI) ou dependente (LD) no espaço vetorial V de todas as funções de R em R. Para isso, vamos usar o critério de combinação linear: a única combinação que anula todas as funções deve ter coeficientes nulos.

Passo 2

Considere uma combinação linear genérica que resulte na função zero:
alpha1f1(x)+alpha2f2(x)+alpha3f3(x)+alpha4f4(x)=0,forall xinR

Passo 3

Substituindo as expressões de fi obtemos
alpha1x+alpha2(1-x)+alpha3x^2+alpha4(1+x^3)=0,
ou seja,
(alpha2+alpha4) +(alpha1-alpha2),x +alpha3,x^2 +alpha4,x^3 =0,forall x

Passo 4

Como o polinômio acima é identicamente zero, todos os coeficientes devem ser zero:
alpha2+alpha4=0, alpha1-alpha2=0, alpha3=0, alpha4=0
Da última equação vem alpha4=0. Então da primeira segue alpha2=0. Da segunda alpha1=0. E já tínhamos alpha3=0.

Passo 5

Só existe a solução trivial alpha1=alpha2=alpha3=alpha4=0. Logo o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto f1,f2,f3,f4 é linearmente independente (LI).

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