Encontre o sup e inf em
dos conjuntos (ou seja considere-os como subconjuntos de
):
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Passo 1
O conjunto dado é A₁ = {q ∈ Q : q² < 2}. Estamos em Q com a ordem usual e queremos determinar sup A₁ e inf A₁. Para isso vamos usar a definição de cota superior (supremo) e cota inferior (ínfimo) em conjuntos ordenados.
Passo 2
Uma cota superior u ∈ Q de A₁ deve satisfazer q ≤ u para todo q ∈ A₁. Como A₁ = {q ∈ Q : -√2 < q < √2}, qualquer racional u ≥ √2 serve de cota superior. Logo o conjunto de todas as cotas superiores em Q é {u ∈ Q : u ≥ √2}.
Passo 3
Para que existisse sup A₁ em Q, deveria existir um menor elemento nesse conjunto de cotas superiores. Mas os racionais são densos em R: dados x = √2 e qualquer racional r > √2, existe sempre um racional s tal que √2 < s < r. Isso mostra que não há menor cota superior racional.
Passo 4
Da mesma forma, uma cota inferior l ∈ Q de A₁ deve satisfazer l ≤ q para todo q ∈ A₁. Como A₁ = {q ∈ Q : -√2 < q < √2}, qualquer l ≤ -√2 é cota inferior. O conjunto de cotas inferiores em Q é {l ∈ Q : l ≤ -√2}.
Passo 5
Para existir inf A₁ em Q, seria preciso um maior elemento entre essas cotas inferiores. Mas, novamente pela densidade dos racionais, entre qualquer racional menor que -√2 e -√2 existe outro racional. Logo não há maior cota inferior em Q.
Resposta
O conjunto A₁ não possui nem supremo nem ínfimo em Q (embora em R valessem sup A₁ = √2 e inf A₁ = -√2, ambos não pertencem a Q).